Гиперболические числа

• Сложение:

  ${\displaystyle (a+bj)+(c+dj)=(a+c)+(b+d)j.}$

• Вычитание:

  ${\displaystyle (a+bj)-(c+dj)=(a-c)+(b-d)j.}$

• Умножение:

  ${\displaystyle (a+bj)\cdot (c+dj)=(ac+bd)+(bc+ad)j.}$

• Деление на число, не являющееся делителем нуля:

  ${\displaystyle {\frac {a+bj}{c+dj}}={\frac {ac-bd}{c^{2}-d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}-d^{2}}}j.}$

${\displaystyle \mathrm {e} ^{jx}=\operatorname {ch} x+j\operatorname {sh} x,}$ где sh и ch — гиперболические синус и косинус.

${\displaystyle \operatorname {sh} jx=j\operatorname {sh} x}$

${\displaystyle \operatorname {ch} jx=\operatorname {ch} x}$

Гиперболические числа образуют двумерную ассоциативно-коммутативную алгебру над полем вещественных чисел. Алгебра гиперболических чисел содержит делители нуля (то есть такие ненулевые элементы z и w, что zw = 0) и поэтому, в отличие от алгебры комплексных чисел, не является полем. Все делители нуля имеют вид ${\displaystyle a\cdot (1\pm j).}$

Если взять ${\displaystyle \alpha =(1+j)/2}$ и ${\displaystyle \beta =(1-j)/2,}$ то

${\displaystyle \alpha \beta =0,}$ ${\displaystyle \alpha ^{2}=\alpha }$ и ${\displaystyle \beta ^{2}=\beta .}$

Любое гиперболическое число может быть представлено как сумма ${\displaystyle \alpha x+\beta y,}$ где ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — вещественные числа. В таком представлении сложение и умножение производится покоординатно.

Таким образом, алгебра гиперболических чисел может быть разложена в прямую сумму двух полей вещественных чисел.

Гиперболические числа иногда применяются в релятивистской кинематике.