Гипотеза Минковского

Гипотеза Минковского — предположение, согласно которому для любой решётки $L\subset \mathbb {R} ^{n}$ с определителем $2^{n}$ и любого вектора $v=(v_{1},v_{2},..,v_{n})$ найдётся элемент $x=(x_{1},x_{2},..,x_{n})\in L$ такой что

|(x_{1}-v_{1})(x_{2}-v_{2})\dots (x_{n}-v_{n})|\leqslant 1

Случай $n=2$ этой гипотезы был доказан Минковским[1]
При $n=3$ гипотезу Минковского доказал Ремак[2]
При $n=4$ гипотезу Минковского доказал Дайсон [3]
При $n=5$ гипотезу Минковского доказал Скубенко [4]

Литература

Касселс Дж. В. С, Введение в геометрию чисел, пер. с англ., М., 1955;

Minkowski, Hermann. Geometrie der Zahlen. — Leipzig-Berlin: R. G. Teubner, 1910.
Remak, R., Verallgemeinerung eines Minkowskischen Satzes, I, II. Math. Z., 17 (1923), 1—34; 18 (1924), 173—200.
Dyson, F. J., On the product of four non-homogeneous linear forms. Ann. of Math. B, 49, (1948), 82—109.
Skubenko, B. F. A new variant of the proof of the inhomogeneous Minkowski conjecture for n=5. (Russian) Number theory, mathematical analysis and their applications. Trudy Mat. Inst. Steklov. 142 (1976), 240--253, 271

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Minkowski, Hermann. Geometrie der Zahlen. — Leipzig-Berlin: R. G. Teubner, 1910.

[2] Remak, R., Verallgemeinerung eines Minkowskischen Satzes, I, II. Math. Z., 17 (1923), 1—34; 18 (1924), 173—200.

[3] Dyson, F. J., On the product of four non-homogeneous linear forms. Ann. of Math. B, 49, (1948), 82—109.

[4] Skubenko, B. F. A new variant of the proof of the inhomogeneous Minkowski conjecture for n=5. (Russian) Number theory, mathematical analysis and their applications. Trudy Mat. Inst. Steklov. 142 (1976), 240--253, 271