Прямое произведение

Пусть даны два множества ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$. Прямое произведение множества ${\displaystyle X}$ и множества ${\displaystyle Y}$ есть такое множество ${\displaystyle X\times Y}$, элементами которого являются упорядоченные пары ${\displaystyle (x,y)}$ для всевозможных ${\displaystyle x\in X}$ и ${\displaystyle y\in Y}$. Упорядоченную пару, образованную из элементов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, принято записывать, используя круглые скобки: ${\displaystyle (a,b)}$. Элемент ${\displaystyle a}$ называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент ${\displaystyle b}$ – второй координатой (компонентой) пары.

Прямое произведение двух множеств наглядно можно представить в виде таблицы, строки которой определяют элементы первого множества, а столбцы, соответственно, второго. Все клетки данной таблицы в таком случае будут элементами декартова произведения.

Слово «упорядоченная» значит, что для ${\displaystyle x\neq y}$, ${\displaystyle (x,y)\neq (y,x)}$. Так, пары ${\displaystyle (a,b)}$ и ${\displaystyle (c,d)}$ равны в том и только том случае, если ${\displaystyle a=c}$ и ${\displaystyle b=d}$.

Важность «порядка» можно показать на примере обычной записи чисел: используя две цифры 3 и 5, можно записать четыре двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то, что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следования элементов, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов.

В упорядоченной паре ${\displaystyle (a,b)}$ может быть, что ${\displaystyle a=b}$. Так, запись чисел 33 и 55 можно рассматривать как упорядоченные пары (3; 3) и (5; 5).

Отображения произведения множеств в его множители — ${\displaystyle \varphi \colon X\times Y\to X,\;\varphi (x,y)=x}$ и ${\displaystyle \psi \colon X\times Y\to Y,\;\psi (x,y)=y}$ — называют координатными функциями.

Аналогично определяется произведение конечного семейства множеств.

Строго говоря, тождество ассоциативности ${\displaystyle A\times (B\times C)=(A\times B)\times C}$ не имеет места, но в силу существования естественного взаимно однозначного соответствия (биекции) между множествами ${\displaystyle A\times (B\times C)}$ и ${\displaystyle (A\times B)\times C}$ этим различием можно зачастую пренебречь.

${\displaystyle n}$-я декартова степень множества ${\displaystyle X}$ определяется для целых неотрицательных ${\displaystyle n}$, как ${\displaystyle n}$-кратное декартово произведение ${\displaystyle X}$ на себя[1]:

${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {X\times X\times \ldots \times X} .\\n\end{matrix}}}$

Обычно обозначается как ${\displaystyle X^{n}}$ или ${\displaystyle X^{\times n}}$.

При положительных ${\displaystyle n}$ декартова степень ${\displaystyle X^{n}}$ состоит из всех упорядоченных наборов элементов из ${\displaystyle X}$ длины ${\displaystyle n}$. Так, вещественное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ — множество кортежей из трех вещественных чисел — есть 3-я степень множества вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

При ${\displaystyle n=0}$, декартова степень ${\displaystyle X^{0},}$ по определению, содержит единственный элемент — пустой кортеж.

В общем случае, для произвольного семейства множеств (не обязательно различных) ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$ (множество индексов может быть бесконечным) прямое произведение ${\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}}$ определяется как множество функций, сопоставляющих каждому элементу ${\displaystyle i\in I}$ элемент множества ${\displaystyle X_{i}}$:

${\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}=\{f\colon I\to \bigcup \limits _{i\in I}X_{i}\mid f(i)\in X_{i},i\in I\}.}$

Отображения ${\displaystyle \pi _{i}\colon X\to X_{i}\colon f\mapsto f(i)}$ называются проекциями, и определяются следующим образом: ${\displaystyle \pi _{i}\colon (a_{1},\dots a_{n})\mapsto a_{i}}$.

В частности, для конечного семейства множеств ${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{n}\}}$ любая функция ${\displaystyle f:\{1,\dots ,n\}\to \bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}}$ с условием ${\displaystyle f(i)\in A_{i}}$ эквивалентна некоторому кортежу длины ${\displaystyle n}$, составленному из элементов множеств ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{n}}$, так, что на ${\displaystyle i}$-ом месте кортежа стоит элемент множества ${\displaystyle A_{i}}$. Поэтому декартово (прямое) произведение конечного числа множеств ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{n}}$ может быть записано так:

${\displaystyle A_{1}\times \dots \times A_{n}=\{(a_{1},\dots ,a_{n})\mid a_{i}\in A_{i},i\in \{1,\dots ,n\}\}.}$

Декартово произведение ${\displaystyle U\times V}$ двух векторных пространств ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ над общим полем ${\displaystyle F}$ — это множество упорядоченных пар векторов ${\displaystyle \left\{(u,v)|u\in U,v\in V\right\}}$, то есть теоретико-множественное декартово произведение множеств векторов из ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$, с линейностью, заданной покоординатно: ${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$, ${\displaystyle \alpha (a,b)=(\alpha a,\alpha b)}$.

Данное определение распространяется на любую индексированную систему линейных (векторных) пространств: декартовым произведением индексированной системы векторных пространств над общим полем является теоретико­‑множественное декартово произведение множеств векторов сомножителей, на котором задана покоординатная линейность, то есть при суммировании суммируются все проекции, при умножении на число все проекции умножаются на это число: ${\displaystyle c=a+b\leftrightarrow (\forall i)c_{i}=a_{i}+b_{i}}$, ${\displaystyle b=\alpha a\leftrightarrow (\forall i)b_{i}=\alpha a_{i}}$.

Прямая сумма (копроизведение) векторных пространств есть такое подмножество их прямого произведения, элементы которого имеют лишь конечное число отличных от нуля проекций ${\displaystyle \coprod {A}=\left\{a\in \prod {A}\mid \left\vert \left\{i\in \operatorname {dom} A\mid a_{i}\neq 0\right\}\right\vert <\aleph _{0}\right\}}$, где ${\displaystyle \operatorname {dom} A}$ есть индексное множество индексированной системы ${\displaystyle A}$. Для конечного числа слагаемых прямая сумма не отличается от прямого произведения.

Прямое (декартово) произведение двух групп ${\displaystyle (G,*)}$ и ${\displaystyle (H,\circ )}$ — это группа из всех пар элементов ${\displaystyle (g,h)}$ с операцией покомпонентного умножения: ${\displaystyle (g_{1},h_{1})\times (g_{2},h_{2})=(g_{1}*g_{2},h_{1}\circ h_{2})}$. Эта группа обозначается как ${\displaystyle G\times H}$. Ассоциативность операции умножения в группе ${\displaystyle G\times H}$ следует из ассоциативности операций перемножаемых групп. Сомножители ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ изоморфны двум нормальным подгруппам своего произведения, ${\displaystyle \{(g,1_{H})\mid g\in G\}}$ и ${\displaystyle \{(1_{G},h)\mid h\in H\}}$ соответственно. Пересечение этих подгрупп состоит из одного элемента ${\displaystyle (1_{G},1_{H})}$, который является единицей группы-произведения. Координатные функции произведения групп являются гомоморфизмами.

Это определение распространяется на произвольное число перемножаемых групп. В случае конечного числа прямое произведение изоморфно прямой сумме. Отличие возникает при бесконечном числе множителей.

В общем случае, ${\displaystyle {\overline {\prod _{i\in I}}}G_{i}=\{f\colon I\to \bigcup _{i\in I}G_{i}\}}$, где ${\displaystyle f(i)\in G_{i}}$ и ${\displaystyle (f_{1}\times f_{2})(i)=f_{1}(i)*f_{2}(i)}$. (Операция в правой части — это операция группы ${\displaystyle G_{i}}$). Единицей группы-произведения будет последовательность, составленная из единиц всех перемножаемых групп: ${\displaystyle (1_{i}),\;i\in I}$. Например, для счётного числа групп: ${\displaystyle {\overline {\prod _{i\in \mathbb {N} }}}\mathbb {Z} _{2}=(2^{\mathbb {N} },\;\operatorname {xor} )}$, где в правой части стоит множество всех бесконечных двоичных последовательностей.

Подгруппа на множестве всех ${\displaystyle f}$, носитель которых (то есть множество ${\displaystyle \mathrm {supp} \,(f)=\{i\in I\mid f(i)\neq 1_{i}\}}$) конечен, называется прямой суммой. Например, прямая сумма того же самого набора множеств ${\displaystyle \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {Z} _{2}\ =\ (\mathbb {N} ,\;\operatorname {xor} )}$ содержит все двоичные последовательности с конечным числом единиц, а их можно трактовать как двоичные представления натуральных чисел.

Аналогично произведению групп можно определить произведения колец, алгебр, модулей и линейных пространств, причём в определении прямого произведения ${\displaystyle 1_{i}}$ (см. выше) следует заменить нулём. Определение произведения двух (или конечного числа) объектов совпадает с определением прямой суммы. Однако, вообще говоря, прямая сумма отличается от прямого произведения: например, прямое произведение счётного множества копий ${\displaystyle \mathbb {R} }$ суть пространство всех последовательностей действительных чисел, тогда как прямая сумма — пространство тех последовательностей, у которых только конечное число членов ненулевые (так называемых финитных последовательностей).

Пусть ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — два топологических пространства. Топология произведения ${\displaystyle X\times Y}$ задаётся базой, состоящей из всевозможных произведений ${\displaystyle U\times V}$, где ${\displaystyle U}$ — открытое подмножество ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle V}$ — открытое подмножество ${\displaystyle Y}$.

Определение легко обобщается на случай произведения нескольких пространств. Для бесконечного произведения ${\displaystyle X=\Pi X_{i}}$ определение усложняется. Определим открытый цилиндр ${\displaystyle Cyl(i,\;U)=\{x\in X\mid x_{i}\in U\}}$, где ${\displaystyle i\in I}$ и ${\displaystyle U}$ — открытое подмножество ${\displaystyle X_{i}}$.

Топология любого, в том числе бесконечного произведения будет задаваться базой, составленной из всевозможных пересечений конечного числа открытых цилиндров, тп есть задана на предбазе из открытых цилиндров. Данная топология является наведённой проекциями — это минимальная топология на теоретико­‑множественном декартовом произведении, при которой все проекции непрерывны (такая топология аналогична компактно-открытой топологии пространств отображений, если считать индексное множество ${\displaystyle I}$ имеющим дискретную топологию).

Теорема Тихонова утверждает компактность произведений любого количества компактных пространств; однако для бесконечных произведений её не удаётся доказать без использования аксиомы выбора (или равносильных ей утверждений теории множеств).

Также теорема Александрова показывает, что любое топологическое пространство можно вложить в (бесконечное) произведение связных двоеточий, если только выполнена аксиома Колмогорова.

Множество вершин прямого произведения двух графов ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$ задаётся как произведение вершин графов сомножителей. Рёбрами будут соединены следующие па́ры вершин:

• ${\displaystyle (g,\;h)(g',\;h)}$, где ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle g'}$ — соединённые ребром вершины графа ${\displaystyle G}$, а ${\displaystyle h}$ — произвольная вершина графа ${\displaystyle H}$;
• ${\displaystyle (g,\;h)(g,\;h')}$, где ${\displaystyle g}$ — произвольная вершина графа ${\displaystyle G}$, а ${\displaystyle h}$ и ${\displaystyle h'}$ — соединённые ребром вершины графа ${\displaystyle H}$.

Иначе говоря, множество рёбер произведения графов является объединением двух произведений: рёбер первого на вершины второго, и вершин первого на рёбра второго.