Дисконтинуум

Дисконтинуум — нульмерный[1] совершенный компакт.

Вторая итерация для ожерелья Антуана, примера дисконтинуума неодносвязным дополнением.

Примеры

Первый пример дисконтинуума обнаружил Георг Кантор — канторово множество. Дисконтинуумы с интересными свойствами в трёхмерном евклидовом пространстве построили Павел Урысон и Луи Антуан. Так, ожерелье Антуана — дисконтинуум, дополнение к которому неодносвязно.

Свойства

Все дисконтинуумы гомеоморфны канторову множеству.
Каждый метризуемый компакт есть непрерывный образ канторова множества.
Каждый совершенный метризуемый компакт содержит канторово множество.
- Следовательно, каждый метризуемый компакт либо счётен, либо имеет мощность континуума.

Примечания

Компакт $K$ нульмерен, если для любой пары его точек $a,b\in K$ он может быть представлен в виде суммы двух непересекающихся замкнутых подмножеств $K_{1}\cup K_{2}$ , для которых $a\in K_{1},b\in K_{2}$

Литература

Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: ГИИТЛ, 1948.
Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968.
Урысон П. С. О канторовых многообразиях, ч.1 // Труды по топологии и другим областям математики. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1954. — Т. 1.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.