Дробное интегро-дифференцирование

Три наиболее употребительных формулы:

• Дифферинтеграл Римана — Лиувилля

Самая простая и часто употребляемая формулировка. Эта формула является обобщением до произвольного порядка формулы повторного интегрирования Коши.

${\displaystyle {}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)}$	${\displaystyle ={\frac {d^{q}\,f(t)}{d(t-a)^{q}}}=}$
	${\displaystyle ={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int \limits _{a}^{t}(t-\tau )^{n-q-1}f(\tau )\,d\tau ,}$

где ${\displaystyle n=\lceil q\rceil }$.

• Дифферинтеграл Грюнвальда — Летникова

${\displaystyle {}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)}$	${\displaystyle ={\frac {d^{q}\,f(t)}{d(t-a)^{q}}}=}$
	${\displaystyle =\lim _{N\to \infty }\left[{\frac {t-a}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}(-1)^{j}{q \choose j}f\left(t-j\left[{\frac {t-a}{N}}\right]\right).}$

• Интегро-дифференцирование Вейля

Формально похоже на интегро-дифференцирование Римана — Лиувилля, но распространяется на периодические функции с равным нулю интегралом по периоду.

Обозначим непрерывное преобразование Фурье, как ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$:

${\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt.}$

В Фурье-пространстве дифференцированию соответствует произведение:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\mathbb {D} f(t)\right]={\mathcal {F}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=i\omega {\mathcal {F}}[f(t)].}$

Поэтому,

${\displaystyle \mathbb {D} f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega ){\mathcal {F}}[f(t)]\right\},}$

что сводится к

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}\,f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{q}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}.}$

При преобразовании Лапласа, здесь обозначенном ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, дифференцирование заменяется умножением

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[f(t)].}$

Обобщая для произвольного порядка дифференцирования и решая уравнение относительно ${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)}$, получаем

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}\,f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{q}{\mathcal {L}}[f(t)]\right\}.}$

• Линейность:

${\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{q}\,(f(t)+g(t))=\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)+\mathbb {D} _{t}^{q}\,g(t);}$

${\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{q}\,(af(t))=a\,\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t).}$

• Правило нуля:

${\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{0}\,t=t.}$

• Дробное интегро-дифференцирование произведения:

${\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{q}\;(f(t)g(t))=\sum _{j=0}^{\infty }{q \choose j}\mathbb {D} _{t}^{j}\,f(t)\,\mathbb {D} _{t}^{q-j}g(t).}$

• Полугрупповое свойство:

${\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{a}\mathbb {D} _{t}^{b}\,f(t)=\mathbb {D} _{t}^{a+b}f(t).}$

в общем случае не выполняется[1].

• ${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(t^{n})={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (n+1-q)}}t^{n-q};}$
• ${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(\sin(t))=\sin \left(t+{\frac {q\pi }{2}}\right);}$
• ${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(e^{at})=a^{q}e^{at}.}$

• Дифференциальный оператор
• Дробная производная
• Дробная динамика

• Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.
• Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. — Москва: Наука, 2005. — 199 с.
• Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 272 с. — 5−9221−0440−3 экз. Архивная копия от 20 июля 2013 на Wayback Machine
• Учайкин В. В. Метод дробных производных. — Ульяновск: Артишок, 2008. — 512 с. — 400 экз. — ISBN 978-5-904198-01-5. (недоступная ссылка)

• Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. — Москва, Ижевск: РХД, 2011. — 568 с.

• A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations. (Elsevier, Amsterdam, 2006).
• S.G. Samko, A.A. Kilbas, O.I. Marichev, Fractional Integrals and Derivatives Theory and Аpplications. (Gordon and Breach, New York, 1993).
• K. Miller, B. Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. (Wiley, New York, 1993).
• F. Mainardi, Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. Imperial College Press, 2010. 368 pages.
• I. Podlubny, Fractional Differential Equations. (Academic Press, San Diego, 1999).
• B. Ross, «A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus» Lect. Notes Math. Vol.457. (1975) 1-36.
• V.E. Tarasov, Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. Springer, 2010. 450 pages.
• V.V. Uchaikin, Fractional Derivatives for Physicists and Engineers Springer, Higher Education Press, 2012, 385 pages.

• Fractional Calculus and Applied Analysis (1998-2014) and Fractional Calculus and Applied Analysis (from 2015)
• Fractional Differential Equations (FDE)
• Progress in Fractional Differentiation and Applications
• Communications in Fractional Calculus (ISSN 2218-3892)
• Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA)