Дробно-линейная функция

Дробно-линейная функция — это числовая функция вида

${\displaystyle \mathbb {U} ^{n}\to \mathbb {U} :w=L(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})={\frac {a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+\cdots +a_{n}u_{n}+b}{c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+\cdots +c_{n}u_{n}+d}},}$

где ${\displaystyle \mathbb {U} }$ — комплексные (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) или вещественные (${\displaystyle \mathbb {R} }$) числа, ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}}$ — соответственно комплексные или вещественные переменные, ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},}$ ${\displaystyle b,d}$ — соответственно комплексные или вещественные коэффициенты,

${\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0}$[1].

Возможно обобщение на кватернионы[2].

Вырожденные случаи[1]:

• если

${\displaystyle |c_{1}|=|c_{2}|=\dots =|c_{n}|=0,}$

то дробно-линейная функция становится целой линейной функций;

• если ранг матрицы

${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\end{array}}\right)}$

равен единице, то дробно-линейная функция вырождается в постоянную.

У собственно (невырожденной) дробно-линейной функции[1]:

• ${\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|>0;}$
• равен двум ранг матрицы

${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\end{array}}\right).}$

Вещественная дробно-линейная функция — это числовая функция вида

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} :y=L(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots +c_{n}x_{n}+d}},}$

где ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — вещественные числа, ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ — вещественные переменные, ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},}$ ${\displaystyle b,d}$ — вещественные коэффициенты,

${\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0}$[1].

Функция одного переменного

Равнобочная гипербола как вещественная дробно-линейная функция ${\displaystyle {\frac {2x-1}{x+2}}}$ с асимптотами ${\displaystyle x=-2/1=2}$ и ${\displaystyle y=2/1=2}$, ${\displaystyle ad-bc=5>0}$

В простейшем случае ${\displaystyle n=1}$ и действительных ${\displaystyle x_{1}=x,}$ ${\displaystyle a_{1}=a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c_{1}=c,}$ ${\displaystyle d}$ график дробно-линейной функции — равнобочная гипербола с асимптотами, параллельным осям координат: ${\displaystyle x=-d/c}$ и ${\displaystyle y=a/c}$[1].

Пусть дробно-линейная функция одного переменного

${\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}$

несократима, то есть ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$, и не сводится к целой линейной функции, то есть ${\displaystyle c\neq 0}$. Выделим целую часть и вынесем за скобки коэффициент при ${\displaystyle x}$[3]:

${\displaystyle f(x)={\frac {{\frac {a}{c}}x+{\frac {b}{c}}}{x+{\frac {d}{c}}}}={\frac {{\frac {a}{c}}\left(x+{\frac {d}{c}}\right)+\left({\frac {b}{c}}-{\frac {ad}{c^{2}}}\right)}{x+{\frac {d}{c}}}}={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})}}.}$

Теперь ясно, что график функции ${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}}$ получается из графика ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$ следующими элементарными преобразованиями:

• растяжением в ${\displaystyle \left|{\frac {ad-bc}{c^{2}}}\right|}$ раз по оси ${\displaystyle Oy}$, причём в случае ${\displaystyle ad-bc>0}$ с отражением относительно оси ${\displaystyle Ox}$;
• перенесением параллельно оси ${\displaystyle Ox}$ на ${\displaystyle -{\frac {d}{c}}}$;
• перенесением параллельно оси ${\displaystyle Oy}$ на ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$.

Таким образом, дробно-линейная функция одного переменного ${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}}$ — это обыкновенная гипербола второго порядка, прямые ${\displaystyle x=-{\frac {d}{c}}}$ и ${\displaystyle y={\frac {a}{c}}}$ — асимптоты гиперболы, а точка пересечения асимптот ${\displaystyle \left(-{\frac {d}{c}},{\frac {a}{c}}\right)}$, не принадлежащая кривой, — её центр[3].

Также очевидно, что дробно-линейная функция одного переменного ${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}}$[3]:

• «теряет смысл», то есть не имеет никакого значения, перестаёт «существовать» в точке ${\displaystyle x=-{\frac {d}{c}}}$;
• на интервалах ${\displaystyle \left(-\infty ,-{\frac {d}{c}}\right)}$ и ${\displaystyle \left(-{\frac {d}{c}},+\infty \right)}$ функция везде возрастает при ${\displaystyle ad-bc>0}$ и везде убывает при ${\displaystyle ad-bc<0}$;
• при неограниченном увеличении ${\displaystyle |x|}$ значения функции неограниченно приближаются к ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$, что видно также из преобразования

${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {a+{\frac {b}{x}}}{c+{\frac {d}{x}}}}.}$

• Производная

${\displaystyle \left({\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})}}\right)'={\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})^{2}}}.}$

• Неопределённый интеграл:

${\displaystyle \int \left({\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})}}\right)dx={\frac {a}{c}}x-{\frac {ad-bc}{c^{2}}}\ln \left|x+{\frac {d}{c}}\right|+C.}$

Функция двух переменных

Гиперболический параболоид

В случае ${\displaystyle n=2}$ и действительных ${\displaystyle x_{1},}$ ${\displaystyle x_{2},}$ ${\displaystyle a_{1},}$ ${\displaystyle a_{2},}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c_{1},}$ ${\displaystyle c_{2},}$ ${\displaystyle d}$ график дробно-линейной функции — гиперболический параболоид[1].

Комплексная дробно-линейная функция — это числовая функция вида

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})={\frac {a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+\cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d}},}$

где ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — комплексные числа, ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}}$ — комплексные переменные, ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},}$ ${\displaystyle b,d}$ — комплексные коэффициенты,

${\displaystyle |c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0}$[1].

При ${\displaystyle n=1}$ комплексная дробно-линейная функция

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ —

аналитическая функция одной комплексной переменной всюду в расширенной комплексной плоскости ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$, за исключением точки ${\displaystyle z=-d/c}$, в которой комплексная дробно-линейная функция имеет простой полюс[1].

При ${\displaystyle n\geqslant 1}$ комплексная дробно-линейная функция

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})={\frac {a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+\cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d}},}$ —

мероморфная функция в пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ комплексных переменных ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}}$, имеющая полярное множество

${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ^{n};c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d=0\}}$[1].

• Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил.
• Энциклопедия элементарной математики. Книга третья. Функции и пределы (основы анализа) / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. М., Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. 559 с., ил.
• Alan F. Beardon. The geometry of discrete groups. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1983. 337 p., 93 ill.