Изоморфизм категорий

Две категории C и D изоморфны, если существуют функторы $F\colon C\to D$ и $G\colon D\to C$ , которые являются обратными друг другу, то есть, $FG=1_{D}$ (функтор тождественности на D) и $GF=1_{C}$ [1]. Это означает, что оба объекта и морфизмы C и D находятся во взаимнооднозначном соответствии друг другу. Две изоморфные категории разделяют все свойства, которые определены только в терминах теории категорий. Для всех практических целей они идентичны и различаются только обозначениями объектов и морфизмов.

Изоморфизм категорий является очень сильным условием, которое редко удовлетворяется. Много важнее понятие эквивалентности категорий. Грубо говоря, для эквивалентности категорий мы не требуем, чтобы $FG$ был равен to $1_{D}$ , а лишь естественно изоморфен $1_{D}$ , и аналогичино $GF$ был естественно изоморфен $1_{C}$ .

Свойства

Как и для всех изоморфизмов мы имеем следующие общие свойства, аналогичные отношению эквивалентности:

любая категория C изоморфна себе
если C изоморфна D, то D изоморфна C
если C изоморфна D и D изоморфна E, то C изоморфна E.

Функтор $F\colon C\to D$ создаёт изоморфизм категорий тогда и только тогда, когда он биективен на объектах и на множестве морфизмов[1]. Этот критерий может быть удобным, поскольку избегает построение обратного функтора G.

Примеры

Рассмотрим конечную группу G, поле k и групповую алгебру kG. Категория k-линейных представлений группы группы G изоморфна категории левых модулей над kG. Изоморфизм можно описать следующим образом: если дано представление группы $\rho \colon G\to \mathbf {GL} (V)$ , где V — векторное пространство над k, GL(V) является группой его k-линейных автоморфизмов, а $\rho$ является гомоморфизмом групп, мы переводим V в левый kG модуль, определив

\left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)v=\sum _{g\in G}a_{g}\rho (g)(v)

для любого v из V и любого элемента $\sum a_{g},g\in kG$ . Обратно, если задан левый kG модуль M, то M является k векторным пространством, и умножение на элемент g группы G приводит к k-линейному автоморфизму модуля M (поскольку g обратим в kG), что описывает групповой гомоморфизм $G\to \mathbf {GL} (M)$ . (Остаётся проверить несколько вещей: что оба этих назначения являются функторами, то есть они могут быть применены к отображениям между представлениями групп и kG модулями, и что они обратны друг другу как на объектах, так и на морфизмах). См. также Представления, модули и алгебра свёрток.

Любое кольцо может рассматриваться как предаддитивная категория с единственным объектом. Категория функторов всех аддитивных функторов из этой категории в категорию абелевых групп изоморфна категории левых модулей над кольцом.
Другой автоморфизм категорий возникает в теории булевых алгебр: категория булевых алгебр изоморфна категории булевых колец. Если дана булева алгебра B, мы переводим B в булево кольцо с помощью симметрической разности в качестве сложения и операции логического умножения $\land$ в качестве умножения. И обратно, если дана булево кольцо R, мы определяем операцию объединения как $a\lor b=a+b+ab$ , а операцию пересечения как умножение. Снова, оба эти назначения могут быть расширены до морфизмов для получения функторов и эти функторы взаимно обратны друг другу.
Если C является категорией с начальным объектом s, то категория объектов «над» ( $s{\downarrow }C$ ) изоморфна C. Двойственно, если t является терминальным объектом в C, категория функтора ( $C{\downarrow }t$ ) изоморфна C.

См. также

Эквивалентность категорий

Примечания

Mac Lane, 1998, с. 14.

Литература

Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician. — 2nd. — Springer-Verlag, 1998. — Т. 5. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-98403-8.
- Маклейн С. Категории для работающего математика. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — ISBN 5-9221-0400-4.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[_13ba712aac1fffc8-1] Mac Lane, 1998, с. 14.