Аналитический элемент

Аналитический элемент — понятие в комплексном анализе, применяемое для удобства определения аналитического продолжения; оно вводится как упорядоченная пара ${\displaystyle (G,f)}$, где ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ — некоторая односвязная область, а ${\displaystyle f}$ — аналитическая в этой области функция.

Аналитические элементы ${\displaystyle (G_{1},f_{1})}$ и ${\displaystyle (G_{2},f_{2})}$ называются аналитическим продолжением друг друга, если ${\displaystyle G_{1}\cap G_{2}\neq \emptyset }$ и на ${\displaystyle \Delta }$ — одной из связных компонент множества ${\displaystyle G_{1}\cap G_{2}}$ — выполняется тождественное равенство ${\displaystyle f_{1}\equiv f_{2}}$. Приведенное в таком виде определение в случае односвязности ${\displaystyle \Delta }$ полностью совпадает с понятием аналитического продолжения для функций. Однако в чистом виде аналитические элементы применяются достаточно редко, в основном используется их частный случай — канонический элемент.

Канонический элемент с центром в точке ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ — аналитический элемент вида ${\displaystyle (K,f)}$, где ${\displaystyle f}$ — аналитическая в ${\displaystyle z_{0}}$ функция, а ${\displaystyle K}$ — круг сходимости ряда Тейлора функции ${\displaystyle f}$ в этой точке.