Лемма Безиковича о покрытиях

Лемма Безиковича о покрытиях — классический результат комбинаторной геометрии важный в теории меры и близкий к лемме Витали.

Доказана Безиковичем в 1945-м году.

Формулировка

Для любого натурального существует такое натуральное , что верно следующее. Пусть — произвольное множество замкнутых шаров в с радиусами не больше 1. Тогда можно выбрать не более чем счётный набор шаров , такой что центр любого шара из принадлежит хотя бы одному шару из и при этом семейство можно разбить на подсемейств с попарно непересекающимися шарами в каждом.

Замечания

Восемь попарно пересекающихся кругов не содержащих центры друг друга.
  • Можно предположить, что .
  • Оптимальная константа не известна даже для плоскости; нижняя оценка 8 (следует из примера на рисунке) и верхняя 19.[1][2]

Применения

Область применений леммы Безиковича близка к области применений леммы Витали. Но лемма Безиковича применима для произвольных мер, но только для простых метрических пространств, включая евклидово пространство, в то время как Лемма Витали применима на произвольных метрических пространствах для мер обладающих свойством удвоения. Последнее означает, что для некоторой вещественной константы и произвольного шара имеем

.

Примечания

    • A. Malnic and B. Mohar. Two results on an antisocial families of balls // Proc. of the Fourth
    Czechoslovakian Sympos. on Combinatorics, Graphs and Complexity (Prachatice, 1990). С. 205-207.

Литература

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.