Лемма Безиковича о покрытиях

Для любого натурального ${\displaystyle n}$ существует такое натуральное ${\displaystyle M=M(n)}$, что верно следующее. Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ — произвольное множество замкнутых шаров в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с радиусами не больше 1. Тогда можно выбрать не более чем счётный набор шаров ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'\subset {\mathfrak {B}}}$, такой что центр любого шара из ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ принадлежит хотя бы одному шару из ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'}$ и при этом семейство ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'}$ можно разбить на ${\displaystyle M}$ подсемейств с попарно непересекающимися шарами в каждом.

Замечания

Восемь попарно пересекающихся кругов не содержащих центры друг друга.

• Можно предположить, что ${\displaystyle M(n)=5^{n}}$.
• Оптимальная константа не известна даже для плоскости; нижняя оценка 8 (следует из примера на рисунке) и верхняя 19.[1][2]

Область применений леммы Безиковича близка к области применений леммы Витали. Но лемма Безиковича применима для произвольных мер, но только для простых метрических пространств, включая евклидово пространство, в то время как Лемма Витали применима на произвольных метрических пространствах для мер ${\displaystyle \mu }$ обладающих свойством удвоения. Последнее означает, что для некоторой вещественной константы ${\displaystyle C}$ и произвольного шара ${\displaystyle B}$ имеем

${\displaystyle \mu (2\cdot B)\leq C\cdot \mu (B)}$.

• С. В. Иванов, Введение в геометрическую теорию меры лекции 2008.
• Besicovitch, A. S. (1945), A general form of the covering principle and relative differentiation of additive functions, I, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society Т. 41 (02): 103–110, DOI 10.1017/S0305004100022453.
  • A general form of the covering principle and relative differentiation of additive functions, II, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society Т. 42: 205–235, 1946.
• DiBenedetto, E (2002), Real analysis, Birkhäuser, ISBN 0-8176-4231-5.