Теорема Эйлера о треугольнике

• Приведённую формулу можно переписать следующим образом

  ${\displaystyle {\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}}}$.

или

${\displaystyle (R-r)^{2}=d^{2}+r^{2},}$

• Из теоремы следует так называемое неравенство Эйлера

  ${\displaystyle R\geq 2r}$.

  • Существует более сильная форма этого неравенства[1]^{:с. 198}, а именно:

    ${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2,}$

где ${\displaystyle a,b,c}$ — стороны треугольника.

• Для сферического треугольника отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной может быть меньше 2. Более того, для любого числа между 1 и 2 существует правильный сферический треугольник с отношением радиуса описанной к радиусу вписанной окружности, равным этому числу.

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

${\displaystyle (R+r_{out})^{2}=d_{out}^{2}+r_{out}^{2},}$

где ${\displaystyle r_{out}}$ — радиус одной из вневписанных окружностей, а ${\displaystyle d_{out}}$ — расстояние от центра описанной окружности до центра этой вневписанной окружности[3][4][5].

Во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD с центрами вписанной и вписанной окружностей соответственно I и О.

• Для радиусов ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle r}$ соответственно описанной и вписанной окружностей данного вписанно-описанного четырёхугольника (см. рис.) и расстояния ${\displaystyle d=x}$ между центрами этих окружностей выполняется соотношение:

  ${\displaystyle {\frac {1}{(R+d)^{2}}}+{\frac {1}{(R-d)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}}$,

или эквивалентно,

${\displaystyle d^{2}=R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}$

• Это соотношение называют Теоремой Фусса. Оно получено Николаем Ивановичем Фуссом[6] в 1792 году.

• Теорема Кэли о цепи Понселе обобщает теорему Эйлера на вписанно-описанные ${\displaystyle n}$-угольники[7].