Двумерное уравнение Шрёдингера

Теория потенциального рассеяния[2] одна из самых важных частей современной физики. Как известно, изучение процессов рассеяния частиц, начиная с экспериментов Резерфорда и кончая современными экспериментами на ускорителях, главный источник информации о микромире. Рассеяние частиц на кристаллах является одним из главных методов в физике твердого тела. Также задачи теории рассеяния естественным образом возникают в оптике и геофизике (восстановление структуры Земли по сейсмическим данным).

Здесь рассматривается квантовомеханическое описание нерелятивистского потенциального рассеяния двух частиц в случае, когда потенциалы взаимодействия зависят только от расстояния между частицами. При этом частицы считаются бесспиновыми, а потенциалы изотропными.[3]

При сделанных предположениях движение частиц в системе их центра тяжести может быть описано следующим уравнением Шрёдингера:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\Delta \Psi ({\vec {r}})+U(r)\Psi ({\vec {r}})=E\Psi ({\vec {r}})}$

${\displaystyle \hbar }$- постоянная Планка

${\displaystyle M={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$- приведенная масса, где ${\displaystyle m_{1}}$и ${\displaystyle m_{2}}$- массы частиц

${\displaystyle U(r)}$- потенциал

${\displaystyle {\vec {r}}}$- относительное расстояние между частицами

${\displaystyle E=k^{2}}$- энергия системы, причем непрерывному спектру соответствуют вещественные ${\displaystyle k>0}$, а дискретному - точки мнимой оси ${\displaystyle k=ik_{n},k_{n}>0}$.

Если считать, что ${\displaystyle \hbar =2M=1}$,то:

${\displaystyle -\Delta \Psi ({\vec {r}})+U({\vec {r}})\Psi ({\vec {r}})=k^{2}\Psi ({\vec {r}})}$

Помимо этого здесь взята во внимание обратная задача рассеяния, иными словами восстановление параметров взаимодействия частиц по известным данным рассеяния.

При этом возникает вопрос : Какого именно набора данных рассеяния достаточно для этого? Это зависит от размерности случая.

Мы будем считать, что ${\displaystyle \varepsilon _{0}=-1}$и использовать следующие комплексные обозначения:

${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle \partial _{z}={\frac {\partial x-i\partial y}{2}}}$ ${\displaystyle x=z_{R}}$

${\displaystyle z^{\prime }=x-iy}$ ${\displaystyle \partial _{z}^{\prime }={\frac {\partial x+i\partial y}{2}}}$ ${\displaystyle y=z_{I}}$

${\displaystyle L=-4\partial z\partial {\bar {z}}+U(z,{\bar {z}})}$

По аналогии с задачей рассеяния в непрерывном спектре, можно определить обобщённую задачу рассеяния при отрицательной энергии:

${\displaystyle (-4\partial z\partial {\bar {z}}+U(z,{\bar {z}})\Psi (\lambda ,z)=-\Psi (\lambda ,z)}$

притом, ${\displaystyle \Psi (\lambda ,z)=e^{{\frac {1}{2}}(\lambda _{\bar {z}}+{\frac {z}{\lambda }})}\chi (\lambda ,z),\chi (\lambda ,z)=1+o(1)}$, при ${\displaystyle |{\bar {z}}|\longrightarrow \infty }$

Кроме того, все внимание будет обращено только на потенциалы ${\displaystyle U}$вида ${\displaystyle U({\vec {r}})}$= ${\displaystyle U(r)}$; тогда легко видеть, что поворотом системы координат задача сводится к задаче с действительным ${\displaystyle \lambda ={\bar {\lambda }}}$. При определенных условиях обратная задача в такой постановке однозначно разрешима, и весь спектр оператора ${\displaystyle L}$лежит выше значения ${\displaystyle \varepsilon _{0}=-1}$. Однако, в противоположном случае у данных рассеяния должны появиться особенности в комплексной ${\displaystyle \lambda }$-плоскости, что накладывает на них дополнительные ограничения.

Исходное уравнение:

${\displaystyle (-4\partial z\partial {\bar {z}}+U(z,{\bar {z}}))\Psi =-\Psi }$

заменой ${\displaystyle \Psi =e^{{\frac {1}{2}}(\lambda _{\bar {z}}{\frac {z}{\lambda }})}\chi }$, где ${\displaystyle \chi =(1+0(1))}$при ${\displaystyle |z|\longrightarrow \infty }$ сводится к уравнению:

${\displaystyle (-4\partial z\partial {\bar {z}}-2\lambda \partial z-{\frac {2}{\lambda }}\partial {\bar {z}}+U(z,{\bar {z}}))\chi =0}$

${\displaystyle \chi =(1+0(1))}$, ${\displaystyle |z|\longrightarrow \infty }$.

Функция Грина этого уравнения выглядит следующим образом:

${\displaystyle G(\lambda ,z)=\iint {\frac {e^{{\frac {1}{2}}({\bar {k}}z+k{\bar {z}})}}{k{\bar {k}}-ik/\lambda -i{\bar {k}}\lambda }}{\frac {dk_{R}dk_{I}}{(2\pi )^{2}}}}$

А интегральное уравнение:

${\displaystyle \chi (\lambda ,z)=1-\iint G(\lambda ,z-z\prime )U(z\prime )\chi (\lambda ,z\prime )dz\prime _{R}dz\prime _{I}}$

Для нахождения данных рассеяния нужно найти асимптотику ${\displaystyle G(\lambda ,z)}$и асимптотику самой ${\displaystyle \chi (\lambda ,z)}$при ${\displaystyle |z|\longrightarrow \infty }$

Асимптотику ${\displaystyle G(\lambda ,z)}$можно найти по формуле:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi ^{2}}}\iint {\frac {exp(i(k{\bar {z}}+{\bar {k}}z))}{ak+b{\bar {k}}}}dk_{R}dk_{I}={\frac {i}{\pi }}sgn(a{\bar {a}}{-b{\bar {b}}){\frac {1}{az-b{\bar {z}}}}})}$

Это приводит к выражению:

${\displaystyle G(\lambda ,z)=|z|\longrightarrow \infty {\frac {1}{2\pi }}sgn(\lambda {\bar {\lambda }}-1)\{{\frac {1}{{z}/{\lambda }-{\bar {z\lambda }}}}-}$${\displaystyle {\frac {exp[-{\frac {1}{2}}(\lambda -1/{\bar {\lambda ){\bar {z}}}}+1/2({\bar {\lambda -1/\lambda }})z]}{\bar {\lambda z-{\bar {z/{\bar {\lambda }}}}}}}}$${\displaystyle \}}$

Для функции ${\displaystyle \chi (\lambda ,z)}$имеем:

${\displaystyle \chi =1-{\frac {1}{\pi }}{\frac {sgn(\lambda {\bar {\lambda -1}})}{z/\lambda -{\bar {z\lambda }}}}\iint U(z\prime )\chi (\lambda ,z\prime )dz\prime _{R}dz\prime _{I}+}$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {sgn(\lambda {\bar {\lambda -1}}}{\lambda z-{\bar {z/{\bar {\lambda }}}}}}exp[-1/2(\lambda -1){\bar {\lambda ){\bar {z+1/2({\bar {\lambda -1/\lambda )z]}}}}}}}$${\displaystyle \iint exp[{\frac {1}{2}}(\lambda -1/{\bar {\lambda }}){\bar {z}}-{\frac {1}{2}}({\bar {\lambda }}-1/\lambda )z\prime ]U(z\prime )\chi (\lambda ,z\prime )dz\prime _{R}dz\prime _{I}}$

Так как в данном случае можно считать,что ${\displaystyle \lambda ={\bar {\lambda }}}$, то

${\displaystyle b(\lambda )=-U_{0}\iint dxdyexp[-iy(\lambda -{\frac {1}{\lambda }})]\chi (\lambda ,x,y)}$

Одно из предположений о виде функции ${\displaystyle b(\lambda )}$заключается в том, что она не имеет особенностей, когда в основное состояние в данном потенциале лежит выше, чем ${\displaystyle \varepsilon _{0}=-1}$. Пологая, что радиус ямы ${\displaystyle R_{0}=1}$, получим уравнение на критическое значение глубины потенциала ${\displaystyle U_{0}}$/

Внутри ямы для функции основного состояния имеет вид:

${\displaystyle \Psi _{rr}^{n}+{\frac {1}{r}}\Psi \prime _{r}+(U_{0}-1)\Psi =0}$

Его решением является функция Бесселя нулевого порядка: ${\displaystyle \Psi =const*J_{0}(r{\sqrt {U_{0}-1}})}$

Вне ямы уравнение имеет вид:

${\displaystyle \Psi _{rr}^{n}+{\frac {1}{r}}\Psi \prime _{r}-\Psi =0}$, решением которого является функция Макдональда нулевого порядка ${\displaystyle \Psi =const*K_{0}(r)}$

Если сложить логарифмические производные этих функция при ${\displaystyle r=1}$и использовать свойства функции Бесселя[6], то можно получить:

${\displaystyle {\frac {J_{1}({\sqrt {U_{0}^{*}-1}}){\sqrt {U_{0}^{*}-1}}}{J_{0}({\sqrt {U_{0}^{*}-1}})}}={\frac {K_{1}(1)}{K_{0}(1)}}}$

Численное решение этого уравнения дает первый корень ${\displaystyle U_{0}^{*}=3.053}$, что совпадает с точкой, в которой должен появиться полюс в данных рассеяния.

Такое поведение данных рассеяния означает, что обратная задача для данных рассеяния с особенностями скорее всего не разрешима в общем случае, а только для каких-то определенных положений полюсов в данных рассеяния существует соответствующий потенциал. Из этого следует, что расположение этих полюсов подчиняется какому-то закону. Выяснить этот закон еще предстоит.[7]

• Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера
• Функции Бесселя
• Группа Шрёдингера
• Оператор Шрёдингера
• Нелинейное уравнение Шрёдингера
• Уравнение Шрёдингера

• Шрёдингер Э. Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2.
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1963. — 619 с.

• Ватсон Г. Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949.

• Захаров В. Е. Обратной задачи рассеяния метод // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1992. — Т. 3: Магнитоплазменный — Пойнтинга теорема. — С. 365−366. — 672 с. — 48 000 экз. — ISBN 5-85270-019-3.