Периодическая последовательность

(Чисто) периодическая последовательность (с периодом p), или p-периодическая последовательность, это последовательность ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\dots }$, удовлетворяющая соотношению

${\displaystyle a_{n+p}=a_{n}}$

для всех значений n[1][2][3][4][5]. Если последовательность рассматривается как функция, областью определения которой является множество натуральных чисел, то периодическая последовательность — это просто специальный вид периодической функции. Наименьшее p, для которой периодическая последовательность p-периодична, называется её наименьшим периодом[1][6] или точным периодом[6].

Любая постоянная функция 1-периодична[4].

Последовательность ${\displaystyle 1,2,1,2,1,2,\dots }$ периодична с наименьшим периодом 2[2].

Последовательность цифр в десятичном представлении 1/7 является периодической последовательностью с периодом 6:

${\displaystyle {\frac {1}{7}}=0{,}142857\,142857\,142857\,\ldots }$

Вообще, последовательность цифр в десятичном представлении любого рационального числа является, в конечном счёте, периодической (см. ниже)[7].

Последовательность степеней −1 периодична с периодом два:

${\displaystyle -1,1,-1,1,-1,1,\ldots }$

Вообще, последовательность степеней любого корня из единицы периодична. То же выполняется для степеней любого элемента конечного порядка в группе.

Периодическая точка для функции f : X → X — это точка x, орбита которой

${\displaystyle x,\,f(x),\,f(f(x)),\,f^{3}(x),\,f^{4}(x),\,\ldots }$

является периодической последовательностью. Здесь ${\displaystyle f^{n}(x)}$ означает n-кратную композицию функции f, применённую к x[6]. Периодические точки играют важную роль в теории динамических систем. Любая функция из конечного множества на себя имеет периодическую точку. Нахождение цикла является алгоритмической задачей поиска такой точки.

Любую периодическую последовательность можно построить поэлементным сложением, вычитанием, умножением и делением периодических последовательностей, состоящих из нулей и единиц. Периодические последовательности из нулей и единиц можно выразить через суммы тригонометрических функций:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{1}\cos(-\pi {\frac {n(k-1)}{1}})/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1...}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{2}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{2}})/2=0,1,0,1,0,1,0,1,0...}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{3}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{3}})/3=0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1...}$

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{N}})/N=0,0,0...,1}$ последовательность с периодом N

Последовательность в конечном итоге периодическая, если её можно сделать периодической путём отбрасывания некоторого конечного набора членов с начала. Например, последовательность цифр в десятичном представлении числа 1/56 в конечном итоге периодична:

1 / 56 = 0,017  857142  857142  857142  ...[1].

Последовательность асимптотически периодична, если её члены стремятся к периодической последовательности. То есть, последовательность ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\dots }$ асимптотически периодична, если существует периодическая последовательность ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\dots }$, для который

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}-a_{n}=0.}$[4][8][9].

Например, Последовательность

1 / 3,  2 / 3,  1 / 4,  3 / 4,  1 / 5,  4 / 5,  ...

асимптотически периодична, поскольку её члены стремятся к периодической последовательности 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....