Поверхность Цолля

Обычная сфера, очевидно, обладает этим свойством, но существует также бесконечномерное семейство деформаций этой метрики, называемых поверхностями Цолля. Из следующего утверждения следует, что существуют примеры поверхностей Цолля среди поверхностей вращения:[2]

• Пусть ${\displaystyle h\colon [-1,1]\to (-1,1)}$ есть нечётной гладкая функция, такая, что ${\displaystyle h(1)=0}$. Тогда сфера с метрикой

  ${\displaystyle (1+h(\cos r))\cdot (dr)^{2}+\sin r\cdot (d\theta )^{2}}$

заданной в полярных координатах ${\displaystyle (r,\theta )}$ есть поверхность Цолля.

Результат следует из существования явных интегралов геодезического потока для таких метрик.

Следующий результат даёт несимметричные примеры:[3]

• Для любой нечётной гладкой функции ${\displaystyle f}$ на единичной сфере ${\displaystyle (\mathbb {S} ^{2},g_{0})}$ существуют однопараметрическое семейство конформных факторов ${\displaystyle \phi _{t}}$ таких, что ${\displaystyle g_{t}=\phi _{t}\cdot g_{0}}$ есть поверхность Цолля и ${\displaystyle f={\tfrac {\partial \phi _{t}}{\partial t}}|_{t=0}}$.

В доказательстве применяется обобщённая теорема о неявной функции, так называемая теорема Нэша — Мозера.

• Гипотеза Бляшке

• Вильгельм Бляшке «Круг и шар», М.: Наука, 1967