Случайная величина

Пусть ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P} )}$ — вероятностное пространство, ${\displaystyle (X,{\mathfrak {B}})}$ — измеримое пространство. Тогда случайной величиной на пространстве элементарных событий ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P} )}$ со значениями в фазовом пространстве ${\displaystyle (X,{\mathfrak {B}})}$ называется ${\displaystyle {\mathfrak {A}}/{\mathfrak {B}}}$ измеримая функция ${\displaystyle \xi \colon \Omega \to X}$.

Распределением вероятностей случайной величины ${\displaystyle \xi }$ называется функция ${\displaystyle P_{\xi }=P_{\xi }(B)}$ на сигма-алгебре ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ фазового пространства, определенная следующим образом:[8]

${\displaystyle P_{\xi }(B)=\Pr \left\{\xi \in B\right\}=\mathbb {P} (\left\{\omega$ :\xi (\omega )\in B,~\omega \in \Omega \right\})~,}

где ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$ (распределение вероятностей ${\displaystyle P_{\xi }}$ представляет собой вероятностную меру в фазовом пространстве ${\displaystyle (X,{\mathfrak {B}})}$).

В случае, если фазовое пространство случайной величины представляет собой множество вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, с борелевской σ-алгебры, то функция распределения ${\displaystyle F(x)}$ равна вероятности того, что значение случайной величины меньше вещественного числа ${\displaystyle x}$. Из этого определения следует, что вероятность попадания значения случайной величины в интервал [a, b) равна ${\displaystyle F(b)-F(a)}$. Преимущество использования функции распределения заключается в том, что с её помощью удаётся достичь единообразного математического описания дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных случайных величин. Тем не менее, существуют разные случайные величины, имеющие одинаковые функции распределения. Например, если случайная величина ${\displaystyle \xi }$ принимает значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью 1/2, то случайные величины ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \xi ^{3}}$ описываются одной и той же функцией распределения F(x).

Если случайная величина дискретная, то полное и однозначное математическое описание её распределения определяется указанием функции вероятностей ${\displaystyle p_{k}=\Pr(\xi =x_{k}),\;k\in \mathbb {N} }$ всех возможных значений этой случайной величины. Примерами дискретных случайных величин являются величины, имеющие биномиальный и пуассоновский законы распределения.

Случайные функции ${\displaystyle \xi =\xi (\omega )}$ и ${\displaystyle \eta =\eta (\omega )}$ в фазовом пространстве ${\displaystyle (X,{\mathfrak {B}})}$ называется эквивалентными, если для любого множества ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$ события ${\displaystyle \xi \in B}$ и ${\displaystyle \eta \in B}$ совпадают с вероятностью единица:

${\displaystyle \Pr(\left\{\xi \in B\right\}\bigtriangleup \left\{\eta \in B\right\})=0=\mathbb {P} (\left\{\omega$ :\xi (\omega )\in B\right\}\bigtriangleup \left\{\omega :\eta (\omega )\in B\right\})~,}

где ${\displaystyle \bigtriangleup }$ — операция симметрической разности двух множеств. Для сепарабельного фазового пространства эквивалентность означает, что величины ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$ совпадают с вероятностью единица, то есть ${\displaystyle \Pr \left\{\xi \neq \eta \right\}=0}$.

Совместным распределением вероятностей случайных величин ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\dotsc ,\xi _{n}}$ на пространстве элементарных событий ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P} )}$ в соответствующих фазовых пространствах ${\displaystyle (X_{k},{\mathfrak {B}}_{k})}$, называется функция ${\displaystyle P_{\xi _{1}\dots \xi _{n}}=P_{\xi _{1}\dotsc \xi _{n}}(B_{1},\dots ,B_{n})}$, определенная на множествах ${\displaystyle B_{1}\in {\mathfrak {B_{1}}},\dotsc ,B_{n}\in {\mathfrak {B_{n}}}}$ как

${\displaystyle P_{\xi _{1}\dots \xi _{n}}(B_{1},\dotsc ,B_{n})=\Pr \left\{\xi _{1}\in B_{1},\dotsc ,\xi _{n}\in B_{n}\right\}~.}$

Распределение вероятностей ${\displaystyle P_{\xi _{1}\dots \xi _{n}}}$ как функция на полукольце множеств вида ${\displaystyle B_{1}\times \dotsb \times B_{n},B_{1}\in {\mathfrak {B_{1}}},\dotsc ,B_{n}\in {\mathfrak {B_{n}}}}$ в произведении пространств ${\displaystyle X_{1}\times \dotsb \times X_{n}}$ представляет собой функцию распределения. Случайные величины ${\displaystyle \xi _{1},\dotsc ,\xi _{n}}$ называются независимыми, если при любых ${\displaystyle B_{1},\dotsc ,B_{n}}$

${\displaystyle P_{\xi _{1}\dots \xi _{n}}(B_{1},\dotsc ,B_{n})=P_{\xi _{1}}(B_{1})\dotsb P_{\xi _{n}}(B_{n})~.}$

Для всякого семейства распределений ${\displaystyle P_{t}}$ в соответствующих фазовых пространствах ${\displaystyle (X_{t},{\mathfrak {B_{t}}})}$ (параметр ${\displaystyle t}$ принадлежит произвольному множеству ${\displaystyle T}$) существует семейство случайных величин ${\displaystyle \xi _{t}=\xi _{t}(\omega )}$ на некотором пространстве элементарных событий ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P} )}$ в соответствующих фазовых пространствах ${\displaystyle (X_{t},{\mathfrak {B}}_{t})}$ с распределением ${\displaystyle P_{t}}$ независимых между собой (то есть любые случайные величины ${\displaystyle {\xi _{t}}_{1},\dotsc ,{\xi _{t}}_{n}}$, ${\displaystyle t_{1},\dotsc ,t_{n}\in T}$, являются независимыми).

Случайные величины классифицируются и называются в соответствии с типом их фазового пространства. Например:

• Случайной величина называется дискретной, если она принимает не более чем счетное количество значений. Дискретная случайная величины называется конечной, если она принимает конечное число значений. Случайная величина ${\displaystyle \xi }$ называется целочисленной, если она принимает в зависимости от случайного исхода одно из значений ${\displaystyle k=0,1,2,\dotsc }$ с соответствующими вероятностями ${\displaystyle P_{\xi }(k)}$.
• Измеримая функция ${\displaystyle \xi$ :\Omega \to \mathbb {R} ^{n}} называется многомерной случайной величиной или ${\displaystyle n}$-мерным случайным вектором (относительно борелевской ${\displaystyle \sigma }$-алгебры на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$). Эквивалентно этому является следующее определение: вектор ${\displaystyle \xi =(\xi _{1},\xi _{2},\dotsc ,\xi _{n})}$, элементы ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\dotsc ,\xi _{n}}$ которого являются случайные величины, называется многомерной случайной величиной или случайным вектором.
• Измеримая функция ${\displaystyle \xi$ :\Omega \to \mathbb {C} ^{n}} называется ${\displaystyle n}$-мерным комплексным случайным вектором (также относительно соответствующей борелевской ${\displaystyle \sigma }$-алгебры).
• Измеримая функция, отображающая вероятностное пространство в пространство подмножеств некоторого (конечного) множества, называется (конечным) случайным множеством.
• Ограниченный выпуклый многогранник в ${\displaystyle n}$-мерном линейном пространстве ${\displaystyle E^{n}}$ построенный в виде выпуклой оболочки более, чем из ${\displaystyle n+1}$ точек, являющихся реализацией случайного вектора в пространстве ${\displaystyle E^{n}}$, называется случайным выпуклым многогранником.

Пусть ${\displaystyle (E,{\mathfrak {B}})}$ — измеримое пространство, ${\displaystyle T}$ множество значений параметра ${\displaystyle t}$. Функция ${\displaystyle \xi =\xi (t)}$ параметра ${\displaystyle t\in T}$, значениями которой являются случайные величины ${\displaystyle \xi (t)=\xi (\omega ,t)}$ на пространстве элементарных событий ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P} )}$ в фазовом пространстве ${\displaystyle (E,{\mathfrak {B}})}$, называется случайным процессом в фазовом пространстве ${\displaystyle (E,{\mathfrak {B}})}$. Всевозможные совместные распределения вероятностей значений ${\displaystyle \xi (t_{1}),\dotsc ,\xi (t_{n}),t_{1},\dotsc ,t_{n}\in T}$:

${\displaystyle P_{t_{1}\dots t_{n}}(B_{1},\dotsc ,B_{n})=\Pr \left\{\xi (t_{1})\in B_{1},\dotsc ,\xi (t_{n})\in B_{n}\right\}(B_{1},\dotsc ,B_{n}\in {\mathfrak {B}})}$

называются конечномерными распределениями вероятностей случайного процесса ${\displaystyle \xi =\xi (t)}$.

Математическим ожиданием или средним значением случайной величины ${\displaystyle \xi =\xi (\omega )}$ в линейном нормированном пространстве X на пространстве элементарных событий ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P} )}$ называется интеграл

${\displaystyle \mathop {\mathbb {E} } \xi =\int \limits _{\Omega }\xi (\omega )\,\mathbb {P} (d\omega )=\int \limits _{\Omega }x\mathbb {P_{\xi }} (d\omega )}$

(в предположении, что функция ${\displaystyle \xi =\xi (\omega )}$ является интегрируемой).

Дисперсией случайной величины ${\displaystyle \xi }$ называется величина, равная:

${\displaystyle \operatorname {D} \xi =\mathop {\mathbb {E} } (\xi -\mathop {\mathbb {E} } \xi )^{2}=\mathop {\mathbb {E} } \xi ^{2}-(\mathop {\mathbb {E} } \xi )^{2}~.}$

В статистике для дисперсии часто употребляется обозначение ${\displaystyle \sigma _{\xi }^{2}}$ или ${\displaystyle \sigma ^{2}}$. Величина ${\displaystyle \sigma }$, равная

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\operatorname {D} \xi }}}$

называется среднеквадратическим отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом.

Ковариацией случайных величин ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$ называется следующая величина:

${\displaystyle \mathrm {cov} (\xi ,\eta )}$ = ${\displaystyle \operatorname {E} (\xi -\operatorname {E} {\xi })({\eta }-\operatorname {E} {\eta })}$

(предполагается, что математические ожидания определены).

Если ${\displaystyle \mathrm {cov} (\xi ,\eta )}$ = 0, то случайные величины ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$ называются не коррелированными. Независимые случайные величины всегда некоррелированы, однако обратное неверно[9].

Если ${\displaystyle 0<\operatorname {D} \xi <\infty }$, ${\displaystyle 0<\operatorname {D} \eta <\infty }$, то величина

${\displaystyle \rho (\xi ,\eta )={\mathrm {cov} (\xi ,\eta ) \over {\sqrt {\operatorname {D} {\xi }\operatorname {D} \eta }}}}$

называется коэффициентом корреляции случайных величин.

Моментом порядка k случайной величины ${\displaystyle \xi }$ называется математическое ожидание ${\displaystyle \mathop {\mathbb {E} } {\xi }^{k}}$, абсолютным моментом порядка k называется величина ${\displaystyle \mathop {\mathbb {E} } |{\xi }|^{k}}$; центральным моментом порядка k — величина ${\displaystyle \mu _{k}=\mathop {\mathbb {E} } ({\xi }-\mathop {\mathbb {E} } {\xi })^{k}}$.

Пусть ${\displaystyle \xi }$ целочисленная случайная величина, принимающая в зависимости от случайного исхода одно из значений ${\displaystyle k=0,1,2,\dotsc }$ с соответствующими вероятностями ${\displaystyle P_{\xi }(k)}$. Функция ${\displaystyle \phi _{\xi }(z)}$ переменной ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle |z|\leqslant 1}$, определяемая формулой

${\displaystyle \phi _{\xi }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }P_{\xi }(k)z^{k}~.}$

называется производящей функцией распределения случайной величины ${\displaystyle \xi }$. Она является аналитической функцией от ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle |z|\leqslant 1}$, и приведённая формула даёт ее разложение в степенной ряд. Распределение вероятностей ${\displaystyle P_{\xi }(k)}$ однозначно определяется своей производящей функцией:

${\displaystyle P_{\xi }(k)={\frac {1}{k!}}\phi _{\xi }^{(k)}(0)\quad (k=1,2,3,\dotsc )~,}$

где ${\displaystyle \phi _{\xi }^{(k)}(0)}$ — значение производной ${\displaystyle {\frac {d^{k}\phi _{\xi }(z)}{dz^{k}}}}$ в точке z = 0.
Производящая функция ${\displaystyle \phi _{\xi }(z)}$ при фиксированном ${\displaystyle z}$ совпадает с математическим ожиданием случайной величины ${\displaystyle \eta =z^{\xi }}$:

${\displaystyle \phi _{\xi }(z)=\mathop {\mathbb {E} } z^{\xi }~.}$

Если случайная величина ${\displaystyle \xi }$ имеет математическое ожидание ${\displaystyle \mathop {\mathbb {E} } \xi }$ и дисперсию ${\displaystyle \operatorname {D} \xi }$, то

${\displaystyle \mathop {\mathbb {E} } \xi ={\phi _{\xi }}'(1)~,}$

${\displaystyle \operatorname {D} \xi ={\phi _{\xi }}''(1)+{\phi _{\xi }}'(1)-{[{\phi _{\xi }}'(1)]}^{2}~.}$

Для производящей функции случайной величины, равной сумме ${\displaystyle \xi =\xi _{1}+\dotsb +\xi _{n}}$ независимых случайных величин ${\displaystyle \xi _{1},\dotsc ,\xi _{n}}$ — с производящими функциями ${\displaystyle \phi _{{\xi }_{1}}(z),\dotsc ,\phi _{{\xi }_{n}}(z)}$ справедлива следующее:

${\displaystyle \phi _{\xi }(z)=\phi _{{\xi }_{1}}(z)\dotsb \phi _{{\xi }_{n}}(z)~.}$

Пусть ${\displaystyle \xi =(\xi _{1},\dotsc ,\xi _{n})}$ векторная случайная величина в ${\displaystyle n}$-мерном действительном пространстве ${\displaystyle (R^{n},{\mathfrak {B}})}$, где ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ борелевская ${\displaystyle \sigma }$-алгебра. Функция ${\displaystyle F_{\xi }(x)=P\left\{{\xi _{1}}\leqslant x_{1},\dotsc ,{\xi _{n}}\leqslant x_{n}\right\}}$ переменной ${\displaystyle x=(x_{1},\dotsc ,x_{n}),x\in R^{n}}$, называется функцией распределения случайной величины ${\displaystyle \xi }$ (или функцией совместного распределения величин ${\displaystyle \xi _{1},\dotsc ,\xi _{n}}$). Функция

${\displaystyle \phi _{\xi }(u)=\mathop {\mathbb {E} } e^{i(u,\xi )}=\int \limits _{R^{n}}{e^{i(u,x)}}P_{\xi }(dx)}$, где ${\displaystyle (u,\xi )=\sum _{k=1}^{n}u_{k}{\xi }_{k},(u,x)=\sum _{k=1}^{n}u_{k}x_{k}}$

переменной ${\displaystyle u=(u_{1},\dotsc ,u_{n})}$ на ${\displaystyle n}$ — мерном действительном пространстве называется характеристической функцией случайной величины ${\displaystyle \xi }$ (или величин ${\displaystyle \xi _{1},\dotsc ,\xi _{n}}$). Она непрерывна и положительно определена в том смысле, что

${\displaystyle \sum _{k,j}{\lambda }_{k}{\overline {{\lambda }_{j}}}{\phi }_{\xi }(u_{k}-u_{j})\geqslant 0}$

для любых ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dotsc \in R^{n}}$ и любых чисел ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dotsc }$ при этом ${\displaystyle \phi (0)=0}$. Всякая функция ${\displaystyle \phi =\phi (u)}$, обладающая указанными свойствами, является характеристической функцией некоторой случайной величины ${\displaystyle \xi }$.

И функция распределения ${\displaystyle F_{\xi }=F_{\xi }(x)}$ и характеристическая функция ${\displaystyle {\phi }_{\xi }={\phi }_{\xi }(u)}$ однозначно определяют распределение вероятностей ${\displaystyle P_{\xi }=P_{\xi }(B)}$, ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$, случайной величины ${\displaystyle \xi }$.

Если ${\displaystyle \mathop {\mathbb {E} } |{\xi }|^{k}<\infty }$, то в некоторой окрестности точки ${\displaystyle t=0}$ функция ${\displaystyle \ln \phi _{\xi }(t)}$ (ветвь логарифма, равная нулю в нуле) непрерывно дифференцируется до порядка ${\displaystyle k}$. Значение

${\displaystyle {\varkappa }_{k}=(-i)^{k}{{d^{k}} \over {{dt}^{k}}}\cdot \ln {\phi }_{\xi }(t){\Biggr |}_{t=0}}$

называется семиинвариантом порядка k.

Пусть ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},P)}$ — пространство элементарных событий и ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ — некоторая ${\displaystyle \sigma }$-алгебра, содержащаяся в ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$. Условная вероятность события ${\displaystyle A\in {\mathfrak {A}}}$ относительно ${\displaystyle \sigma }$-алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, обозначаемая ${\displaystyle P(A\mid {\mathfrak {B}})}$, определяется как неотрицательная функция от элементарных исходов ${\displaystyle \omega }$, ${\displaystyle 0\leqslant {P}(A\mid {\mathfrak {B}})\leqslant 1}$, измеримая относительно ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, для которой

${\displaystyle \int \limits _{B}P(A\mid {\mathfrak {B}})P(d\omega )=P(AB)}$

для любых ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$. Функция ${\displaystyle P(A\mid {\mathfrak {B}})}$ на множестве элементарных событий ${\displaystyle \Omega }$ определена однозначно для почти всех элементарных исходов ${\displaystyle \omega }$ и представляет собой плотность распределения ${\displaystyle P(AB)}$, ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$, относительно распределения ${\displaystyle P(B)}$ на ${\displaystyle \sigma }$-алгебре ${\displaystyle {\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {A}}}$.
Условная вероятность ${\displaystyle P_{\mathfrak {B}}=P(A\mid {\mathfrak {B}})}$, рассматриваемая как функция ${\displaystyle A\in {\mathfrak {A}}}$ со значениями в нормированном пространстве ${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$ всех интегрированных (действительных и комплексных) функций ${\displaystyle \xi =\xi (\omega )}$ на ${\displaystyle \Omega$ :\|\xi \|=\mathop {\mathbb {E} } |{\xi }|} , представляет собой обобщенную меру на ${\displaystyle \sigma }$-алгебре ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ пространства ${\displaystyle \Omega }$, вариация которой есть

${\displaystyle \operatorname {Var} P(A\mid {\mathfrak {B}})=P(A)(A\in {\mathfrak {A}})~.}$

Всякая случайная (действительная или комплексная) величина ${\displaystyle \xi =\xi (\omega )}$, имеющая математическое ожидание (то есть являющаяся интегрируемой функцией на пространстве ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},P)}$ с мерой ${\displaystyle P}$), интегрируема по отношению к обобщенной мере ${\displaystyle P_{\mathfrak {B}}=P(A\mid {\mathfrak {B}})}$. Соответствующий интеграл

${\displaystyle \mathop {\mathbb {E} } (\xi \mid {\mathfrak {B}})=\int \limits _{\Omega }\xi (\omega )\,P(d\omega \mid {\mathfrak {B}})}$

называется условным математическим ожиданием случайной величины ${\displaystyle \xi }$.

В терминах событий для случайной величины ${\displaystyle \xi }$ и событий ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, при условии, что ${\displaystyle \Pr(\xi \in A)\neq 0}$ справедлива формула Байеса[10]:

${\displaystyle \Pr(\xi \in A\mid \xi \in B)={\frac {\Pr(\xi \in B\mid \xi \in A)\cdot \Pr(\xi \in A)}{\Pr(\xi \in B)}}~.}$

Для полного набора попарно несовместных событий ${\displaystyle A_{i}}$ и любого события ${\displaystyle B}$ с учётом формулы полной вероятности[10]:

${\displaystyle \Pr(\xi \in B)=\sum _{i=1}^{n}\Pr(\xi \in B\mid \xi \in A_{i})\cdot \Pr(\xi \in A_{i})}$

справедлива теорема Байеса:

${\displaystyle \Pr(\xi \in A_{j}\mid \xi \in B)={\frac {\Pr(\xi \in A_{j})\cdot \Pr(\xi \in B\mid \xi \in A_{j})}{\sum _{i=1}^{n}\Pr(\xi \in A_{i})\cdot \Pr(\xi \in B\mid \xi \in A_{i})}}~.}$

В разных источниках, используется различная терминология для различных представлений теоремы Байеса.

Если ${\displaystyle f(x)}$ — борелевская функция, а ${\displaystyle \xi }$ — случайная величина, то ее функциональное преобразование ${\displaystyle \eta =f(\xi )}$ также является случайной величиной. Например, если ${\displaystyle \xi }$ — стандартная нормальная случайная величина, то случайная величина ${\displaystyle \chi ^{2}=\xi ^{2}}$ имеет распределение хи-квадрат с одной степенью свободы. Многие распределения, в том числе распределение Фишера, распределение Стьюдента являются распределениями функциональных преобразований нормальных случайных величин.

Если ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$ с совместным распределением ${\displaystyle F_{\xi \eta }(x,y)}$, а ${\displaystyle \phi =\phi (x,y)}$ — некоторая борелевская функция, то для ${\displaystyle \zeta =\phi (\xi ,\eta )}$ справедливо[10]:

${\displaystyle F_{\zeta }(z)=\int \limits _{\{x,y:\phi (x,y)\leqslant z\}}\,dF_{\xi \eta }(x,y)~.}$

Если ${\displaystyle \phi (x,y)=x+y}$, ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$ независимы, то ${\displaystyle F_{\xi \eta }(x,y)=F_{\xi }(y)F_{\eta }(y)}$. Применяя теорему Фубини получаем:

${\displaystyle F_{\zeta }(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F_{\eta }(z-x)dF_{\xi }(x)}$

и аналогично:

${\displaystyle F_{\zeta }(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F_{\xi }(z-y)dF_{\eta }(y)~.}$

Если ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ функции распределения, то функцию

${\displaystyle H(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F(z-x)dG(x)}$

называют свёрткой ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ и обозначают ${\displaystyle F*G}$.
Характеристическая функция ${\displaystyle \zeta =\xi +\eta }$ суммы независимых случайных величин ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$ является фурье-преобразование свертки ${\displaystyle F*G}$ функций распределения ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ и равна произведения характеристических функций ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$:

${\displaystyle \phi _{\zeta }(u)=\phi _{\xi }(u)\phi _{\eta }(u)~.}$

Центра́льные преде́льные теоре́мы (ЦПТ)— класс теорем, утверждающих, что сумма большого количества независимых случайных величин с конечными дисперсиями, вклад в сумму каждой из которых невелик, имеет распределение, близкое к нормальному. Первоисточником исследований в области условий, при выполнений которых распределение суммы случайных величин с увеличением их количества сходится к нормальному стала локальная теорема Муавра — Лапласа.[11]

Примерами дискретной случайной величины могут служить показания спидометра или измерения температуры в конкретные моменты времени.[12]

Все возможные исходы подбрасывания монеты могут быть описаны пространством элементарных событий ${\displaystyle \Omega =\{}$орёл, решка${\displaystyle \}}$ или кратко ${\displaystyle \{op,pe\}}$. Пусть случайная величина ${\displaystyle \xi }$ равна выигрышу в результате подбрасывания монеты. Пусть выигрыш будет 10 рублей каждый раз, когда монета выпадает орлом, и −33 рубля при выпадении решки. Математически эту функцию выигрыша можно представить так:

${\displaystyle \xi (\omega )={\begin{cases}10,&{\text{если }}\omega ={\text{op}}\\[6pt]-33,&{\text{если }}\omega ={\text{pe}}\end{cases}}~.}$

Если монета идеальная, то выигрыш ${\displaystyle \xi }$ будет иметь вероятность, заданную как:

${\displaystyle \Pr(\xi =y)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}},&{\text{если }}y=10\\[6pt]{\tfrac {1}{2}},&{\text{если }}y=-33\end{cases}}~,}$

где ${\displaystyle \Pr(\xi =y)}$ — вероятность получения ${\displaystyle y}$ рублей выигрыша при одном подбрасывании монеты.

Если пространство исходов равно множеству всех возможных комбинаций очков на двух костях, и случайная величина равна сумме этих очков, тогда S — дискретная случайная величина, чьё распределение описывается функцией вероятности, значение которой изображено как высота соответствующей колонки.

Случайная величина также может быть использована для описания процесса бросания игральных костей, а также для расчёта вероятности конкретного исхода таких бросков. В одном из классических примеров данного эксперимента используются две игральные кости ${\displaystyle n_{1}}$ и ${\displaystyle n_{2}}$, каждая из которых может принимать значения из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6} (количество очков на сторонах костей). Общее количество очков выпавших на костях и будет значением нашей случайной величины ${\displaystyle \xi }$, которая задаётся функцией:

${\displaystyle \xi ((n_{1},n_{2}))=n_{1}+n_{2}~,}$

и (если кости идеальные) функция вероятности для ${\displaystyle \xi }$ задаётся через:

${\displaystyle \Pr(S)={\frac {\min(S-1,13-S)}{36}},{\text{ for }}S\in \{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}~,}$

где ${\displaystyle S}$ — сумма очков на выпавших костях.

Пусть экспериментатор тянет наугад одну из карт в колоде игральных карт. Тогда ${\displaystyle \omega }$ будет представлять одну из вытянутых карт; здесь ${\displaystyle \omega }$ не число, а карта — физический объект, название которого обозначается через символ ${\displaystyle \omega }$. Тогда функция ${\displaystyle \xi (\omega )}$, принимая в качестве аргумента «название» объекта, вернёт число, с которым мы будем в дальнейшем ассоциировать карту ${\displaystyle \omega }$. Пусть в нашем случае экспериментатор вытянул Короля Треф, то есть ${\displaystyle \omega =K_{\clubsuit }}$, тогда после подставления этого исхода в функцию ${\displaystyle \xi (K_{\clubsuit })}$, мы получим уже число, например, 13. Это число не является вероятностью вытягивания короля из колоды или любой другой карты. Это число является результатом перевода объекта из физического мира в объект математического мира, ведь с числом 13 уже можно проводить математические операции, в то время как с объектом ${\displaystyle K_{\clubsuit }}$ эти операции проводить было нельзя.

Биноминальный закон распределения описывает случайные величины, значения которых определяют количество «успехов» и «неудач» при повторении опыта ${\displaystyle N}$ раз. В каждом опыте «успех» может наступить с вероятностью ${\displaystyle p}$, «неудача» — с вероятностью ${\displaystyle q=1-p}$. Закон распределения в этом случае определяется формулой Бернулли:

${\displaystyle P_{k,n}=C_{n}^{k}\cdot p^{k}\cdot q^{n-k}~.}$

Если при стремлении ${\displaystyle n}$ к бесконечности произведение ${\displaystyle np}$ остаётся равной константе ${\displaystyle \lambda >0}$, то биномиальный закон распределения сходится к закону Пуассона, который описывается следующей формулой:

${\displaystyle p(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }~,}$

где:

символ «${\displaystyle$ !} » обозначает факториал;

${\displaystyle e=2.7182818284\ldots }$ — основание натурального логарифма.

Другой класс случайных величин — такие, для которых существует неотрицательная функция ${\displaystyle p(x)}$, удовлетворяющая при любых ${\displaystyle x}$ равенству ${\displaystyle P(\omega \mid \xi (\omega )\leq x)=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{x}\displaystyle p(z)dz}$. Случайные величины, удовлетворяющие этому свойству называются абсолютно непрерывными, а функция ${\displaystyle p(x)}$ называется плотностью распределения вероятностей.

Число возможных значений абсолютно непрерывной случайной величины бесконечно. Пример абсолютно непрерывной случайной величины: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.[12]

Пусть в одном из экспериментов нужно случайным образом выбрать одного человека (обозначим его как ${\displaystyle \omega }$) из группы испытуемых, пусть тогда случайная величина ${\displaystyle \xi }$ выражает рост выбранного нами человека. В этом случае, с математической точки зрения, случайная величина ${\displaystyle \xi }$ интерпретируется как функция ${\displaystyle y=\xi (\omega )}$, которая трансформирует каждого испытуемого ${\displaystyle \omega }$ в число — его рост ${\displaystyle y}$. Для того чтобы рассчитать вероятность того, что рост человека попадёт в промежуток между 180 см и 190 см, или вероятность того, что его рост будет выше 150 см, нужно знать распределение вероятности ${\displaystyle \xi }$, которое в совокупности с ${\displaystyle \xi }$ и позволяет рассчитывать вероятности тех или иных исходов случайных экспериментов.