Стохастическое исчисление Ито

Исчисление Ито — математическая теория, описывающая методы манипулирования со случайными процессами, такими как броуновское движение (или винеровский процесс). Названа в честь создателя, японского математика Киёси Ито. Часто применяется в финансовой математике и теории стохастических дифференциальных уравнений. Центральным понятием этой теории является интеграл Ито

Y_{t}=\int \limits _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},

записывающийся также в виде $Y=H\cdot X$ , где $X$ — броуновское движение или, в более общей формулировке, полумартингал. Можно показать, что путь интегрирования для броуновского движения нельзя описать стандартными техниками интегрального исчисления. В частности, броуновское движение не является интегрируемой функцией в каждой точке пути и имеет бесконечную вариацию по любому временному интервалу. Таким образом, интеграл Ито не может быть определен в смысле интеграла Римана — Стилтьеса. Однако, интеграл Ито можно определить корректно, если заметить, что подынтегральная функция $H$ есть адаптивный процесс; это означает, что зависимость от времени $t$ его среднего значения определяется поведением только до момента $t$ .

Обозначения

\int \limits _{0}^{t}H\,dX\equiv \int \limits _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s}

Интегрирование броуновского движения

\int \limits _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}}),

Процесс Ито

X_{t}=X_{0}+\int \limits _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int \limits _{0}^{t}\mu _{s}\,ds.

Семимартингалы, как интеграторы

\int \limits _{0}^{t}H\,dX=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}),

где $0=t_{0}<t_{1}<...<t_{n-1}<t_{n}=t$ , $\max(t_{i}-t_{i-1})\to 0$ - последовательность разбиений интервала [0, t] с длиной подынтервалов стремящейся к нулю.

Свойства

J\cdot (K\cdot X)=(JK)\cdot X

[H\cdot X]=H^{2}\cdot [X]

Интегрирование по частям

X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int \limits _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int \limits _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t}

Лемма Ито

df(X_{t})=\sum _{i=1}^{d}f_{,i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{,ij}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.

Мартингалы-интеграторы

Квадратично интегрируемые мартингалы

\mathbb {E} \left((H\cdot M_{t})^{2}\right)=\mathbb {E} \left(\int \limits _{0}^{t}H^{2}\,d[M]\right).

Стохастическая производная

\mathbb {D} _{B_{t}}S_{t}={\frac {\mathrm {d} \langle S,B\rangle _{t}}{\mathrm {d} \langle B,B\rangle _{t}}}={\frac {\mathrm {d} \langle S,B\rangle _{t}}{\mathrm {d} t}},

\mathbb {D} _{B_{t}}\int \limits _{0}^{t}X_{s}\mathrm {d} B_{s}=X_{t},

and

\int \limits _{0}^{t}\mathbb {D} _{B_{s}}S_{s}\mathrm {d} B_{s}=S_{t}-S_{0}-V_{t}.

См. также

Литература

Allouba, Hassan. A Differentiation Theory for Itô's Calculus (неопр.) // Stochastic Analysis and Applications. — 2006. — Т. 24. — С. 367—380.
Hagen Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore), 2004, (ISBN 981-238-107-4). Пятое издание доступно в виде pdf.
He Sheng-Wu, Wang Jia-Gang, Yan Jia-An, Semimartingale Theory and Stochastic Calculus, Science Press, CRC Press Inc., 1992 (ISBN 7-03-003066-4, 0-8493-7715-3)
Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, 1991 г. (ISBN 0-387-97655-8)
Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations, Springer, 2001 (ISBN 3-540-00313-4)
Bernt K. Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, Springer, 2003 (ISBN 3-540-04758-1)
Mathematical Finance Programming in TI-Basic, which implements Ito calculus for TI-calculators.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.