Теорема Ельмслева о серединах

Теорема Ельмслева о серединах — классическая теорема абсолютной геометрии. Названа в честь Иоганнеса Ельмслева. Часто приводится как иллюстрация к теореме Шаля.

Зелёные точки являются серединами соответствующих красных точек.

Формулировка

Если точки $A,B,C,\dots$ на прямой переводятся движением в точки $A',B',C',\dots$ , то середины отрезков $AA',BB',CC',\dots$ лежат на одной прямой.

О доказательстве

Можно считать, что отображение $m\colon A\mapsto A'$ меняет ориентацию; если нет то возьмём его композицию с осевой симметрией во второй прямой. Тогда, по теореме Шаля $m$ является скользящей симметрией. Отсюда немедленно следует, что все середины лежат на оси скользящей симметрии.

Ссылки

Martin, George E. (1998), The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane (3rd ed.), Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, с. 384, ISBN 978-0-387-90694-2.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.