Теорема Лежандра

Уравнение

${\displaystyle aX^{2}+bY^{2}+cZ^{2}=0,}$

у которого не все коэффициенты одного знака и ${\displaystyle a,b,c}$ — попарно взаимно простые числа, имеет нетривиальное решение в целых числах ${\displaystyle (X,Y,Z)}$ тогда и только тогда, когда:

• ${\displaystyle -ab}$ — квадратичный вычет по модулю ${\displaystyle c}$,
• ${\displaystyle -bc}$ — квадратичный вычет по модулю ${\displaystyle a}$,
• ${\displaystyle -ca}$ — квадратичный вычет по модулю ${\displaystyle b}$.

Необходимость этих условий очевидна, достаточность следует из теоремы Минковского — Хассе для квадратичных форм: квадратичная форма представляет нуль в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ тогда и только тогда, когда она представляет нуль в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и во всех полях ${\displaystyle p}$-адических чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$. Для разрешимости в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ нужны разные знаки, для разрешимости в ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ для ${\displaystyle p\mid abc}$ — вышеприведённые симметричные соотношения.

Эта теорема может быть использована для доказательства теоремы Лагранжа о четырех квадратах , которая утверждает, что все натуральные числа могут быть записаны как сумма четырех квадратов. Гаусс  указал, что теорема о четырех квадратах легко вытекает из того факта, что любое положительное целое число, равное 1 или 2, является суммой 3 квадратов, поскольку любое положительное целое число, не делимое на 4, можно привести к этой форме путем вычитания. 0 или 1 из этого. Однако доказательство теоремы о трех квадратах значительно сложнее, чем прямое доказательство теоремы о четырех квадратах, в котором не используется теорема о трех квадратах. Действительно же, теорема о четырех квадратах была доказана ранее, в 1770 году.

• Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1985. — С. 77-80. — 504 с.