Теорема Чаплыгина

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием в точке ${\displaystyle x=a}$:

${\displaystyle y'=f(x,y),\quad x\in (a,b],}$

(1.1)

${\displaystyle y(a)=y^{a}.}$

(1.2)

Чтобы сформулировать теорему Чаплыгина для задачи (1.1—1.2), понадобится ряд определений.

Определение. Нижним и верхним (барьерными) решениями задачи (1.1—1.2) называются соответственно функции ${\displaystyle {\underline {\omega }}(x)}$ и ${\displaystyle {\overline {\omega }}(x)}$, принадлежащие ${\displaystyle C^{1}[a,b]}$, и такие, что

${\displaystyle 1)\ {\underline {\omega }}(a)<y^{a}<{\overline {\omega }}(a),}$

(2.1)

${\displaystyle 2){\begin{array}{c}{\underline {\omega }}'(x)<f(x,{\underline {\omega }}(x)),\\[.5ex]{\overline {\omega }}'(x)>f(x,{\overline {\omega }}(x)),\end{array}}\ \forall x\in [a,b].}$

(2.2)

Определение. Классическим решением задачи (1.1—1.2) называется функция ${\displaystyle y(x)}$, принадлежащая ${\displaystyle C^{1}(a,b]\cap C[a,b]}$ и удовлетворяющая уравнению (1.1) при каждом ${\displaystyle x\in (a,b]}$ и начальному условию (1.2).

Теорема (Чаплыгина). Пусть существуют такие нижнее ${\displaystyle {\underline {\omega }}(x)}$ и верхнее ${\displaystyle {\overline {\omega }}(x)}$ решения задачи (1.1—1.2), что

${\displaystyle \ f(x,y)\in C({\mathfrak {B}}),}$

(3.1)

где ${\displaystyle {\mathfrak {B}}\equiv [a,b]\times [{\underline {\omega }}(x),{\overline {\omega }}(x)]}$. Тогда на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ существует по крайней мере одно классическое решение ${\displaystyle y(x)}$ задачи (1.1—1.2), и для каждого решения этой задачи и любого ${\displaystyle x\in [a,b]}$ справедливо:

${\displaystyle {\underline {\omega }}(x)<y(x)<{\overline {\omega }}(x).}$

(3.2)