Тетраэдр Гурса

Тетраэдр Гурса может быть представлен графически тетраэдральным графом, который является двойственной конфигурацией фундаментальной области в виде тетраэдра. В этом графе каждый узел представляет грань (зеркало) тетраэдра Гурса. Каждое ребро помечено рациональным числом, соответствующим порядку отражения, который равен ${\displaystyle \pi }$/двугранный угол.

4-вершинная диаграмма Коксетера — Дынкина представляет эти тетраэдральные графы со скрытыми рёбрами второго порядка. Если много рёбер имеют порядок 2, группа Коксетера может быть представлена скобочной нотацией.

Для существования тетраэдра Гурса каждый из подграфов с 3 вершинами этого графа, (p q r), (p u s), (q t u) и (r s t), должны соответствовать треугольнику Шварца.

Симметрия тетраэдра Гурса может быть тетраэдральной симметрией любой подгруппы симметрии, показанной в дереве цветом рёбер.

Расширенная симметрия тетраэдра Гурса является полупрямым произведением группы Коксетера симметрии и фундаментальной области симметрии (тетраэдра Гурса, в этом случае). Нотация Коксетера поддерживает эту симметрию как вложенные скобки, наподобие [Y[X]], что означает полную группу Коксетера симметрии [X] с Y в качестве симметрии тетраэдра Гурса. Если Y является чистой зеркальной симметрией, группа будет представлять другую группу Коксетера отражений. Если имеется только одна простая удваивающая симметрия, Y может быть выражена явно, наподобие [[X]] с зеркальной или вращательной симметрией, в зависимости от контекста.

Расширенная симметрия каждого тетраэдра Гурса задана ниже. Наивысшая возможная симметрия у правильного тетраэдра, [3,3], и она достигается на призматической точечной группе [2,2,2], или [2^[3,3]], и на паракомпактной гиперболической группе [3^[3,3]].

См. симметрии тетраэдра для 7 симметрий низкого порядка тетраэдра.

Последующие секции показывают все из полного набора решений тетраэдров Гурса для 3-сферы, евклидова 3-мерного пространства и гиперболического 3-мерного пространства. Расширенная симметрия каждого тетраэдра тоже указана.

Цветные тетраэдральные диаграммы ниже являются вершинными фигурами всеусечённых многогранников и сот из каждого семейства симметрий. Метки рёбер представляют порядки многоугольных граней, которые являются удвоенными порядками ветвей графа Коксетера. Двугранный угол ребра, помеченного 2n, равен ${\displaystyle \pi /n}$. Жёлтые рёбра, помеченные цифрой 4, получаются из прямого угла (несвязанных) зеркал (узлов) диаграммы Коксетера.

(Конечные) решения на 3-сфере

Изоморфизм конечных групп Коксетера

Решения для 3-сферы с плотностью 1: (однородные многогранники)

Дуопризмы и гиперпризмы:

Группа Коксетера и диаграмма	[2,2,2]	[p,2,2]	[p,2,q]	[p,2,p]	[3,3,2]	[4,3,2]	[5,3,2]
Порядок группы симметрии	16	8p	4pq	4p2	48	96	240
Симметрии тетраэдра	[3,3] (порядок 24)	[2] (порядок 4)	[2] (порядок 4)	[2+,4] (порядок 8)	[ ] (порядок 2)	[ ]+ (порядок 1)	[ ]+ (порядок 1)
Расширенные симметрии	[(3,3)[2,2,2]] =[4,3,3]	[2[p,2,2]] =[2p,2,4]	[2[p,2,q]] =[2p,2,2q]	[(2+,4)[p,2,p]] =[2+[2p,2,2p]]	[1[3,3,2]] =[4,3,2]	[4,3,2]	[5,3,2]
Порядок расширенных групп симметрии	384	32p	16pq	32p2	96	96	240

Тип графа	Линейный				Трёхлистный
Группа Коксетера и диаграмма	Пяти- ячейный [3,3,3]	Шестнадцати- ячейный [4,3,3]	Двадцати- четырёхъ- ячейный [3,4,3]]]	Шестисот- ячейный [5,3,3] [5,3,3]	Полутессеракт [31,1,1]
Вершинная фигура всеусечённых однородных многогранников
Тетраэдр
Порядок группы симметрии	120	384	1152	14400	192
Тетраэдральная симметрия	[2]+ (порядок 2)	[ ]+ (порядок 1)	[2]+ (порядок 2)	[ ]+ (порядок 1)	[3] (порядок 6)
Расширенная симметрия	[2+[3,3,3]]	[4,3,3]	[2+[3,4,3]]	[5,3,3]	[3[31,1,1]] =[3,4,3]
Порядок группы расширенной симметрии	240	384	2304	14400	1152

Решения в евклидовом 3-мерном пространстве

Изоморфизмы евклидовых групп Коксетера

Решения плотности 1: Выпуклые однородные соты:

Тип графа	Линейный	Трёхлистный	Кольцо	Призматический			Вырожденный
Группа Коксетера Диаграмма Коксетера	[4,3,4]	[4,31,1]	[3[4]]	[4,4,2]	[6,3,2]	[3[3],2]	[∞,2,∞]
Вершинная фигура всеусечённых сот
Тетраэдр
Тетраэдральная симметрия	[2]+ (порядок 2)	[ ] (порядок 2)	[2+,4] (порядок 8)	[ ] (порядок 2)	[ ]+ (порядок 1)	[3] (порядок 6)	[2+,4] (порядок 8)
Расширенная симметрия	[(2+)[4,3,4]]	[1[4,31,1]] =[4,3,4]	[(2+,4)[3[4]]] =[2+[4,3,4]]	[1[4,4,2]] =[4,4,2]	[6,3,2]	[3[3[3],2]] =[3,6,2]	[(2+,4)[∞,2,∞]] =[1[4,4]]

Решения для гиперболических 3-пространств

Решения плотности 1: (Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве) (Компакт (группы симплексов Ланнера))

Группы симплексов Ланнера ранга 4

Тип графа	Линейный			Трёхлистный
Группа Коксетера Диаграмма Коксетера	[3,5,3]	[5,3,4]	[5,3,5]	[5,31,1]
Вершинный фигуры всеусечённых сот
Тетраэдр
Тетраэдральная симметрия	[2]+ (порядок 2)	[ ]+ (порядок 1)	[2]+ (порядок 2)	[ ] (порядок 2)
Расширенная симметрия	[2+[3,5,3]]	[5,3,4]	[2+[5,3,5]]	[1[5,31,1]] =[5,3,4]
Тип графа	Кольцо
Группа Коксетера Диаграмма Коксетера	[(4,3,3,3)]	[(4,3)2]	[(5,3,3,3)]	[(5,3,4,3)]	[(5,3)2]
Вершинные фигуры всеусечённых сот
Тетраэдр
Тетраэдральная симметрия	[2]+ (порядок 2)	[2,2]+ (порядок 4)	[2]+ (порядок 2)	[2]+ (порядок 2)	[2,2]+ (порядок 4)
Расширенная симметрия	[2+[(4,3,3,3)]]	[(2,2)+[(4,3)2]]	[2+[(5,3,3,3)]]	[2+[(5,3,4,3)]]	[(2,2)+[(5,3)2]]

Решения в паракомпактных гиперболических 3-пространствах

Здесь показана связь подгрупп паракомпактного гиперболического тетраэдра Гурса. Подгруппы порядка 2 представляют разбиение тетраэдра Гурса плоскостью зеркальной симметрии

Решения плотности 1: (См. Паракомпакт (группы симплексов Козула))

Группы симплексов Козула ранга 4

Тип графа	Линейные графы
Группа Коксетера Диаграмма Коксетера	[6,3,3]	[3,6,3]	[6,3,4]	[6,3,5]	[6,3,6]	[4,4,3]	[4,4,4]
Тетраэдральная симметрия	[ ]+ (порядок 1)	[2]+ (порядок 2)	[ ]+ (порядок 1)	[ ]+ (порядок 1)	[2]+ (порядок 2)	[ ]+ (порядок 1)	[2]+ (порядок 2)
Расширенная симметрия	[6,3,3]	[2+[3,6,3]]	[6,3,4]	[6,3,5]	[2+[6,3,6]]	[4,4,3]	[2+[4,4,4]]
Тип графа	Кольцевые графы
Группа Коксетера Диаграмма Коксетера	[3[ ]×[ ]]	[(4,4,3,3)]	[(43,3)]	[4[4]]	[(6,33)]	[(6,3,4,3)]	[(6,3,5,3)]	[(6,3)[2]]
Тетраэдральная симметрия	[2] (порядок 4)	[ ] (порядок 2)	[2]+ (порядок 2)	[2+,4] (порядок 8)	[2]+ (порядок 2)	[2]+ (порядок 2)	[2]+ (порядок 2)	[2,2]+ (порядок 4)
Расширенная симметрия	[2[3[ ]×[ ]]] =[6,3,4]	[1[(4,4,3,3)]] =[3,41,1]	[2+[(43,3)]]	[(2+,4)[4[4]]] =[2+[4,4,4]]	[2+[(6,33)]]	[2+[(6,3,4,3)]]	[2+[(6,3,5,3)]]	[(2,2)+[(6,3)[2]]]
Тип графа	Трёхлистный			Кольцо с хвостом				Симлекс
Группа Коксетера Диаграмма Коксетера	[6,31,1]	[3,41,1]	[41,1,1]	[3,3[3]]	[4,3[3]]	[5,3[3]]	[6,3[3]]	[3[3,3]]
Тетраэдральная симметрия	[ ] (порядок 2)	[ ] (порядок 2)	[3] (порядок 6)	[ ] (порядок 2)	[ ] (порядок 2)	[ ] (порядок 2)	[ ] (порядок 2)	[3,3] (порядок 24)
Расширенная симметрия	[1[6,31,1]] =[6,3,4]	[1[3,41,1]] =[3,4,4]	[3[41,1,1]] =[4,4,3]	[1[3,3[3]]] =[3,3,6]	[1[4,3[3]]] =[4,3,6]	[1[5,3[3]]] =[5,3,6]	[1[6,3[3]]] =[6,3,6]	[(3,3)[3[3,3]]] =[6,3,3]

Существует сотни рациональных решений для 3-сфер, включая эти 6 линейных графов, которые образуют многогранники Шлефли–Гесса, и 11 нелинейных:

• Точечная группа симметрии для n-симплексных решений на (n-1)-сфере.

• Coxeter H. C. M. Table 3: Schwarz’s Triangles // Regular Polytopes (book). — Third edition. — Dover Edition, 1973. — С. 280, Goursat's tetrahedra. — ISBN 0-486-61480-8.

• N.W. Johnson. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — University of Toronto, 1966. — (Ph.D. Dissertation). Джонсон доказал, что перечисление тетраэдров Гурса Коксетером полно.
• Edouard Goursat. Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace // Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure. — 1889. — Вып. 6. — С. 9–102, 80–81 tetrahedra.
• Klitzing, Richard.Dynkin Diagrams Goursat tetrahedra
• N.W. Johnson. Главы 11,12,13 // Geometries and Transformations. — 2015.
• Johnson N. W., Kellerhals R., Ratcliffe J. G., Tschantz S. T. Transformation Groups // The size of a hyperbolic Coxeter simplex. — 1999. — Т. 4. — С. 329–353.