Уравнение Брио — Буке

Уравнение Брио и Буке — обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида

${\displaystyle x^{m}{\frac {dy}{dx}}=f(x,y),\quad (*)}$

где m — натуральное число, функция ${\displaystyle f(x,y)}$ аналитическая и удовлетворяет условиям ${\displaystyle f(0,0)=0}$ и ${\displaystyle f_{y}(0,0)\neq 0}$[1][2]. Уравнения (*) можно рассматривать как в вещественной, так и в комплексной области.

Название дано в честь двух французских математиков XIX века: Шарля Брио и Жан-Клода Буке, которые провели детальное исследование таких уравнений. Они, в частности, доказали, что уравнение (*) с начальным условием ${\displaystyle y(0)=0}$ почти всегда (за исключением случая, когда ${\displaystyle m=1}$ и ${\displaystyle f_{y}(0,0)}$ есть натуральное число) имеет единственное решение, представимое в виде формального степенного ряда ${\displaystyle y=a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots ,}$ который сходится в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x=0}$, если ${\displaystyle m=1}$, и может расходиться для всех ${\displaystyle x\neq 0}$, если ${\displaystyle m>1}$[2].