Уравнение Льенара

Уравнение Лиенара может быть преобразовано в систему дифференциальных уравнений.

Пусть

${\displaystyle F(x):=\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi }$;

${\displaystyle x_{1}:=x}$;

${\displaystyle x_{2}:={dx \over dt}+F(x)}$.

Тогда система вида

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {h} (x_{1},x_{2}):={\begin{bmatrix}x_{2}-F(x_{1})\\-g(x_{1})\end{bmatrix}}}$

называется системой Лиенара.

Система Лиенара имеет единственный и устойчивый предельный цикл около начала координат, если система удовлетворяет следующим трём свойствам:

• ${\displaystyle g(x)>0}$ для всех ${\displaystyle x>0}$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x):=\lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi \ =\infty$ ;}
• ${\displaystyle F(x)}$ имеет только один положительный корень при некотором значении параметра ${\displaystyle p}$, причём

${\displaystyle F(x)<0}$ при ${\displaystyle 0<x<p}$ и

${\displaystyle F(x)>0}$ и монотонна при ${\displaystyle x>p}$.