Уравнения Дена — Соммервиля

Уравнения Дена — Сомервиля — полный набор линейных соотношений на количество граней разных размерностей у простого многогранника.

Формулировка

Для данного простого $n$ -мерного многогранника $P$ обозначим через $f_{k}$ количество граней $P$ размерности $k$ ; в частности, $f_{n}=1$ . Рассмотрим формальную сумму

\sum _{k}f_{k}\cdot (t-1)^{k}=\sum _{k}h_{k}\cdot t^{k}

где $h_{k}=\sum _{i\geqslant k}f_{i}(-1)^{i-k}{\binom {i}{k}}$ , то есть коэффициенты $h_{k}$ возникают естественным образом при раскрытии скобок левой суммы.

Тогда уравнения Дена — Сомервиля имеют вид

h_{k}=h_{n-k}

для каждого целого $k$ .

Связанные определения

Последовательность $(f_{0},f_{1},\dots ,f_{n})$ называется f-вектором многогранника.
Последовательность $(h_{0},h_{1},\dots ,h_{n})$ $\text{[math]}$ называется h-вектором многогранника.
- Если $\ell \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $\text{[math]}$ — линейная функция общего положения, то есть все вершины многогранника $P$ $\text{[math]}$ лежат на разных уровнях $\ell$ $\text{[math]}$ , тогда $h_{k}$ $\text{[math]}$ равно числу вершин $P$ $\text{[math]}$ индекса $k$ $\text{[math]}$ ; то есть ровно $k$ $\text{[math]}$ рёбер из этой вершины идут вниз по $\ell$ $\text{[math]}$ . Уравнения Дена — Сомервиля получаются заменой $\ell$ $\text{[math]}$ на $-\ell$ $\text{[math]}$ .
  - В дополнении получаем $h_{k}\geqslant 0$ для любого $k$ , это даёт нетривиальные неравенства на $f$ -вектор.

История

В размерности 4 и 5 соотношения были описаны Максом Деном[1]. В общем случае уравнения были описаны Дунканом Сомервилем в 1927.

Примечания

M. Dehn, 1905, " Die Eulersche Formel in Zusammenhang mit dem Inhalt in der nicht-Euklidischen Geometrie ", Math. Ann., 61 (1905), 561—586

Литература

В. А. Тиморин. Комбинаторика выпуклых многогранников. — МЦНМО, 2002. — (Летняя школа «Современная математика»). — ISBN 5-94057-024-0.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] M. Dehn, 1905, " Die Eulersche Formel in Zusammenhang mit dem Inhalt in der nicht-Euklidischen Geometrie ", Math. Ann., 61 (1905), 561—586