Число Брюно

Число Брюно — иррациональное число ${\displaystyle \alpha }$, для которого конечна функция Брюно ${\displaystyle B(\alpha )}$ — бесконечная сумма:

${\displaystyle B(\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\log q_{n+1}}{q_{n}}}}$

(${\displaystyle q_{n}}$ — знаменатель ${\displaystyle n}$-го члена ${\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}}$ непрерывная дроби разложения ${\displaystyle \alpha }$).

Функция Брюно ${\displaystyle B(x)}$ определена для иррационального ${\displaystyle x}$ и удовлетворяет следующим условиям:

${\displaystyle B(x)=B(x+1)}$

${\displaystyle B(x)=-\log x+xB(1/x)}$ для всех иррациональных ${\displaystyle x}$ от 0 до 1.

Числа открыты и изучены советским математиком Александра Брюно в работе 1971 году, в которой улучшено диофантово условие в теореме Зигеля: ростки голоморфных функций с линейной частью ${\displaystyle e^{2\pi i\alpha }}$ линеаризуемы, если ${\displaystyle \alpha }$ — число Брюно. В 1987 году Жан-Кристоф Йоккоз показал, что это условие является необходимым, причём для квадратичных многочленов оно не только необходимо, но и достаточно.

У чисел Брюно существует не так много больших «скачков» в последовательностях в которых знаменатель ${\displaystyle (n+1)}$-го сходящегося числа экспоненциально больше, чем знаменатель ${\displaystyle n}$-го сходящегося числа. В отличие от чисел Лиувилля они не могут быть необычно^{[уточнить]} точными диофантовыми приближениями рациональных чисел.