Числа Лагранжа

Гурвиц улучшил критерий Дирихле иррациональности до утверждения, что вещественное число α иррационально тогда и только тогда, когда существует бесконечно много рациональных чисел p/q, (в несократимом виде), таких, что

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}.}$

У Дирихле в правой части стояло 1/q². Вышеприведённый результат является наилучшим, поскольку золотое сечение φ является иррациональным, но если мы заменим √5 любым бо́льшим числом в вышеприведённом выражении, мы получим только конечное количество рациональных чисел, удовлетворяющих неравенству для α = φ.

Гурвиц, однако, показал, что если мы исключим φ и производные от него числа, мы можем увеличить число √5. Фактически он показал, что мы можем заменить его на 2√2. Снова, это новое число является наилучшим возможным при новых условиях и на этот раз становится проблемным число √2. Если мы запрещаем √2, мы можем увеличить число в правой части неравенства с 2√2 до √221/5. Повторяя этот процесс, получим бесконечную последовательность √5, 2√2, √221/5, ..., сходящуюся к 3[1]. Эти числа называются числами Лагранжа[2] по имени французского математика Жозефа Луи Лагранжа.

Число Лагранжа с номером n, L_n, задаётся формулой

${\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{\frac {4}{{m_{n}}^{2}}}}}}$,

где m_n — n-ое число Маркова[3], являющееся наименьшим n-м целым m, таким, что уравнение

${\displaystyle m^{2}+x^{2}+y^{2}=3mxy\,}$

имеет решение для целых положительных чисел x и y.

• Lagrange number. From MathWorld at Wolfram Research.
• Introduction to Diophantine methods irrationality and transcendence — Online lecture notes by Michel Waldschmidt, Lagrange Numbers on pp. 24–26.