Ядро Дирихле

Рассмотрим n-ную частичную сумму ряда Фурье.

${\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{n}(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx))\qquad (1)}$

${\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)dt+\sum _{k=1}^{n}\left[\left({\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\cos(kt)dt\right)\cos(kx)+\left({\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\sin(kt)dt\right)\sin(kx)\right]\qquad (2)}$

${\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\left[{\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\left(\cos(kt)\cos(kx)+\sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt\qquad (3)}$

Применяя формулу косинуса разности к выражению, стоящему под знаком суммы, получим:

${\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\left[{\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\left(\cos(k(t-x)\right)\right]dt\qquad (4)}$

Рассмотрим сумму косинусов: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\cos \alpha +\cos(2\alpha )+...+\cos(n\alpha )}$

Умножим каждое слагаемое на ${\displaystyle 2\sin({\frac {\alpha }{2}})}$ и преобразуем по формуле ${\displaystyle 2\sin \alpha \cos \beta =\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}$

${\displaystyle 2\sin({\frac {\alpha }{2}})\left({\frac {1}{2}}+\cos \alpha +\cos(2\alpha )+...+\cos(n\alpha )\right)=\sin {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {3\alpha }{2}}-\sin {\frac {3\alpha }{2}}+...+\sin(n+{\frac {1}{2}})\alpha =\sin(n+{\frac {1}{2}})\alpha }$

Применяя это преобразование к формуле (4), получим:

${\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})(t-x)}{2\sin {\frac {t-x}{2}}}}dt\qquad (5)}$

Сделаем замену переменного ${\displaystyle u=t-x}$

${\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi -x}^{\pi -x}f(x+u){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac {u}{2}}}}du={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+u){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac {u}{2}}}}du\qquad (6)}$