Признак сходимости Коши

Последовательность ${\displaystyle (s_{n})}$ частных сумм ряда ${\displaystyle \sum a_{k}}$ сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной, то есть

${\displaystyle \forall \,\varepsilon >0,\exists \,\nu _{\varepsilon },\forall n,\forall p,}$

${\displaystyle n\geqslant \,\nu _{\varepsilon }\Rightarrow \left|s_{n+p}-s_{n}\right|\leqslant \varepsilon ,}$

что равносильно условию ${\displaystyle (1),}$ так как ${\displaystyle s_{n+p}-s_{n}=a_{n+1}+\ldots +a_{n+p}.}$