Признак д’Аламбера

Если существует предел

${\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|,}$

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если ${\displaystyle \rho <1}$, а если ${\displaystyle \rho >1}$ — расходится.

Замечание 1. Если ${\displaystyle \rho =1}$, то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Замечание 2. Если ${\displaystyle \rho =1}$, и последовательность ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$ стремится к своему пределу ${\displaystyle \rho }$ сверху, то про ряд все-таки можно сказать, что он расходится.

1. Пусть, начиная с некоторого номера ${\displaystyle N}$, верно неравенство ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q}$, где ${\displaystyle 0<q<1}$. Тогда можно записать ${\displaystyle \left|{\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\right|\leq q}$, ${\displaystyle \left|{\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}\right|\leq q}$, …, ${\displaystyle \left|{\frac {a_{N+n}}{a_{N+n-1}}}\right|\leq q}$ , и так далее. Перемножив первые n неравенств, получим ${\displaystyle \left|{\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}\right|\times \left|{\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}\right|\times ...\times \left|{\frac {a_{N+n}}{a_{N+n-1}}}\right|=\left|{\frac {a_{N+n}}{a_{N}}}\right|\leq {q^{n}}}$, откуда ${\displaystyle \left|{a_{N+n}}\right|\leq |{a_{N}}|{q^{n}}}$. Это означает, что ряд ${\displaystyle \left|{a_{N+1}}\right|+\left|{a_{N+2}}\right|+\left|{a_{N+3}}\right|+...}$ меньше бесконечной суммы убывающей геометрической прогрессии, и поэтому по признаку сравнения он сходится. Полный ряд из модулей тоже сходится, поскольку первые ${\displaystyle N-1}$ членов (последовательности ${\displaystyle \{a\}}$) роли не играют (их конечное число). Поскольку сходится ряд из модулей, то сходится и сам ряд по признаку абсолютной сходимости. Сходится он при этом абсолютно.
2. Пусть ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1}$ (начиная с некоторого N): тогда можно записать ${\displaystyle \left|{a_{n+1}}\right|\geq \left|{a_{n}}\right|}$. Это означает, что модуль членов последовательности ${\displaystyle \{a\}}$ не стремится к нулю на бесконечности, а значит, и сама последовательность ${\displaystyle \{a\}}$ не стремится к нулю. Тогда необходимое условие сходимости любого ряда не выполняется, и ряд поэтому расходится.
3. Пусть ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1}$, начиная с некоторого ${\displaystyle n=N}$. При этом не существует такого ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle 0<q<1}$, что ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q}$ для всех ${\displaystyle n}$, начиная с некоторого номера ${\displaystyle N}$. В этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, оба ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$ и ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Действительно, для ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$ верно ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|={\frac {n}{n+1}}=1-{\frac {1}{n+1}}<1}$ для любого натурального ${\displaystyle n}$. В то же время, поскольку ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1}$, это означает, что для любого ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle 0<q<1}$ можно подобрать такое число ${\displaystyle \varepsilon }$, что ${\displaystyle 1-\varepsilon >q}$ , и при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности ${\displaystyle \{b\}}$, где ${\displaystyle {b_{n}}=\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$, будут находиться на интервале ${\displaystyle (1-\varepsilon ;1)}$, то есть ${\displaystyle {b_{n}}>q}$. А это и означает, что не существует такого ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle 0<q<1}$, что ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leqslant q}$ для всех ${\displaystyle n>N}$. Эти рассуждения можно повторить и для второго ряда.

• Ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$ абсолютно сходится для всех комплексных ${\displaystyle z}$, так как ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {{z^{n+1}}/{(n+1)!}}{{z^{n}}/{n!}}}\right|=\lim _{n\to \infty }{\frac {|z|}{n+1}}=0.}$

• Ряд ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n!\;z^{n}}$ расходится при всех ${\displaystyle z\neq 0}$, так как ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(n+1)!\;z^{n+1}}{n!\;z^{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }|(n+1)z|=\infty .}$

• Если ${\displaystyle \rho =1}$, то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$ и ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Другой пример, для которого нужен признак Раабе: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{2n}}$

• d'Alembert, J. (1768), Opuscules, vol. V, с. 171–183, <http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62424s.image.f192>.
• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical analysis (2nd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1
• Knopp, Konrad (1956), Infinite Sequences and Series, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-60153-3: § 3.3, 5.4.
• Rudin, Walter (1976), Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.), New York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 978-0-07-054235-8
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Bertrand criterion, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Gauss criterion, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Kummer criterion, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Watson, G. N. & Whittaker, E. T. (1963), A Course in Modern Analysis (4th ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2