Резонанс Гельмгольца

Когда воздух нагнетается в полость, давление в полости возрастает. Когда внешняя сила, нагнетающая воздух в полость, исчезает, повышенное давление заставляет воздух вытекать обратно. Через некоторое время давление внутри и снаружи сравняется, но воздух всё равно продолжит выходить вовне, поскольку струя воздуха в горлышке обладает массой и ненулевой скоростью, а значит, и кинетической энергией. Через некоторое время воздух перестанет выходить из полости, и при этом давление внутри полости будет меньше давления снаружи. Воздух снова устремится в полость. Этот цикл будет повторяться множество раз, с затухающей амплитудой. Частота цикла (собственная, или резонансная частота) зависит от формы полости. Если внешняя сила будет возникать и исчезать с частотой, равной собственной частоте полости, возникнет резонанс — колебания воздуха не будут затухать.

Модель резонатора Гельмгольца

Может быть показано[2] что собственная угловая частота колебаний равна

${\displaystyle \omega _{\text{H}}={\sqrt {\gamma {\frac {A^{2}}{m}}{\frac {P_{0}}{V_{0}}}}},}$

где ${\displaystyle \gamma }$ — показатель адиабаты, значение которого обычно равно 1,4 для воздуха и двуатомных газов; ${\displaystyle A}$ — площадь сечения горлышка; ${\displaystyle m}$ — масса воздуха в горлышке; ${\displaystyle P_{0}}$ — статическое давление в полости; ${\displaystyle V_{0}}$ — статический объём полости.

Для цилиндрических горлышек

${\displaystyle A={\frac {V_{n}}{L}},}$

где: ${\displaystyle L}$ — длина горлышка, ${\displaystyle V_{n}}$ — объём воздуха в горлышке, поэтому

${\displaystyle \omega _{\text{H}}={\sqrt {\gamma {\frac {A}{m}}{\frac {V_{n}}{L}}{\frac {P_{0}}{V_{0}}}}}.}$

По определению плотности:

${\displaystyle {\frac {V_{n}}{m}}={\frac {1}{\rho }},}$

поэтому

${\displaystyle \omega _{\text{H}}={\sqrt {\gamma {\frac {P_{0}}{\rho }}{\frac {A}{V_{0}L}}}},}$

и

${\displaystyle f_{\text{H}}={\frac {\omega _{H}}{2\pi }},}$

где ${\displaystyle f_{H}}$ — резонансная частота.

Скорость звука в газах равна

${\displaystyle v={\sqrt {\gamma {\frac {P_{0}}{\rho }}}},}$

поэтому можно выразить резонансную частоту через неё:

${\displaystyle f_{\text{H}}={\frac {v}{2\pi }}{\sqrt {\frac {A}{V_{0}L}}}.}$

Длина горлышка появляется в знаменателе потому, что инерция воздуха в горлышке пропорциональна массе воздуха в горлышке, а значит, и длине. Объём появляется в знаменателе потому, что коэффициент сжимаемости воздуха в полости обратно пропорционален объёму. Площадь сечения горлышка влияет двояко — чем больше площадь, тем больше масса воздуха в горлышке, и тем меньше скорость, с которой воздух устремляется внутрь и вовне.

Эта формула имеет границы применимости, зависящие от формы горлышка и толщины стенок резонатора. Исходя из примерно такой же физической модели можно получить более точную формулу[3]. Кроме этого, если скорость потока рядом с резонатором высока (более 0,3 числа Маха), необходимо вводить дополнительные поправки.

Резонанс Гельмгольца применяется в двигателях внутреннего сгорания и в акустических системах. Системы впрыска топлива, называемые системами Гельмгольца, использовались в двигателях Chrysler V10, которыми комплектовались автомобили Dodge Viper и пикапы Ram, а также в мотоциклах Buell.

В струнных инструментах с полой декой, таких, как гитара или скрипка, один из пиков кривой резонанса — это резонанс Гельмгольца (остальные — это резонансные частоты деревянных частей инструмента). Окарина — резонатор с изменяемым сечением горлышка. Западноафриканский барабан джембе имеет относительно узкое горлышко, что придаёт ему глубокий басовый тон. Джаг — классический резонатор Гельмгольца.

Теория резонанса Гельмгольца используется при проектировании выхлопных труб автомобилей и мотоциклов, с целью сделать звук двигателя более тихим или более красивым.

• Hermann von Helmholtz. On the sensations of tone as a physiological basis for the theory of music / Alexander John Ellis. — Longmans, Green, 1885. — 576 с.
• Колебания и волны. Лекции. В. А. Алешкевич, Л. Г. Деденко, В. А. Караваев (Физический факультет МГУ) Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г.

• Oxford Physics Teaching, History Archive, «Exhibit 3 — Helmholtz resonators Архивная копия от 26 декабря 2020 на Wayback Machine» (archival photograph)
• HyperPhysics Acoustic Laboratory
• HyperPhysics Cavity Resonance
• Beverage Bottles as Helmholtz Resonators // Science Project Idea for Students
• Helmholtz Resonance