Эйлерово частично упорядоченное множество

В комбинаторике эйлерово частично упорядоченное множество — это градуированное частично упорядоченное множество, в котором любой нетривиальный интервал имеет одно и то же число элементов чётного и нечётного рангов. Эйлерово частично упорядоченное множество, являющееся решёткой, называется эйлеровой решёткой. Объекты названы именем Леонарда Эйлера. Эйлеровы решётки обобщают решётки граней выпуклых многогранников и многие современные исследования посвящены расширению известных результатов комбинаторики многогранников, таких как различные ограничения на f-векторы выпуклых симплициальных многогранников, на это более общие случаи.

Примеры
  • Решётка граней выпуклого многогранника, состоящая из его граней, вместе с наименьшим элементом, пустой гранью, и наибольшим элементом, самим многогранником, является эйлеровой решёткой. Условие чётности/нечётности вытекает из формулы Эйлера.
  • Любая симплициальная сфера обобщённой гомологии является эйлеровой решёткой.
  • Пусть L — правильный клеточный комплекс, такой, что |L| является многообразием с теми же эйлеровыми характеристиками, что и гиперсфера той же размерности (условие бессмысленно, если размерность нечётна). Тогда частично упорядоченное множество ячеек L с порядком, определяемым включением их замыканий, является эйлеровым.
  • Пусть W — группа Коксетера с порядком Брюа. Тогда (W,≤) является эйлеровым частично упорядоченным множеством.

Свойства
  • Условия в определении эйлерового частичного упорядоченного множества P могут быть эквивалентно выражены в терминах функции Мёбиуса:
для всех
  • Двойственное эйлерово частично упорядоченное множество, пoлученное обращением частичного порядка, является эйлеровым.
  • Ричрд Стэнли ввёл понятие торического h-вектора ранжированного частично упорядоченного множества, которое обобщает ''h''-вектор симплициального многогранника[1]. Он доказал, что уравнения Дена — Сомервиля
выполняются для произвольных эйлеровых частично упорядоченных множеств ранга d + 1[2]. Однако для эйлеровых частично упорядоченных множеств, получающихся из правильных комплексов ячеек или выпуклых многогранников, торический h-вектор ни определяет, ни определяется числом ячеек или граней различных размерностей и торический h-вектор не имеет прямой комбинаторной интерпретации.

См. также
  • Абстрактный многогранник
  • Звёздное произведение, метод комбинирования частично упорядоченных множеств, сохраняющее свойства эйлеровости частично упорядоченных множеств

Примечания
  1. Stanley, 1997, с. 138.
  2. Stanley, 1997, с. Theorem 3.14.9.

Литература
  • Richard P. Stanley. Enumerative Combinatorics. — Cambridge University Press, 1997. — Т. 1. — ISBN 0-521-55309-1.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.