Центр окружности девяти точек

• Центр окружности девяти точек ${\displaystyle O_{9}}$ лежит на прямой Эйлера треугольника посредине между ортоцентром ${\displaystyle H}$ и центром описанной окружности ${\displaystyle O}$. Центроид ${\displaystyle M}$ также лежит на этой линии на расстоянии 2/3 от ортоцентра к центру описанной окружности[2][3], так, что

${\displaystyle O_{9}O=O_{9}H=3O_{9}M~.}$

Таким образом, если пара из этих четырёх центров известна, положение двух других легко найти.

• Андрю Гинанд (Andrew Guinand) в 1984-м году, исследуя задачу, ныне известную как задача определения треугольника Эйлера, показал, что если положение этих центров для неизвестного треугольника задано, то инцентр треугольника лежит внутри ортоцентроидальной окружности (окружности, диаметром которой служит отрезок между центроидом и ортоцентром). Только одна точка внутри этой окружности не может быть центром вписанной окружности — это центр девяти точек. Любая другая точка внутри этой окружности определяет единственный треугольник[4][5][6][7].
• Расстояние от центра окружности девяти точек до инцентра ${\displaystyle I}$ удовлетворяет формулам:

${\displaystyle IO_{9}<{\dfrac {1}{2}}IO~,}$

${\displaystyle IO_{9}={\dfrac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {R}{2}}~,}$

${\displaystyle 2R\cdot IO_{9}=OI^{2}~,}$

где ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle r}$ — радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.

• Центр окружности девяти точек является центром описанных окружностей серединного треугольника, ортотреугольника и треугольника Эйлера[8][3]. Вообще говоря, эта точка является центром описанной окружности треугольника, имеющего в качестве вершин любые три из девяти перечисленных точек.
• Центр окружности девяти точек совпадает с центроидом четырёх точек — трёх точек треугольника и его ортоцентра[9].
• Из девяти точек на окружности Эйлера три являются серединами отрезков, соединяющих вершины с ортоцентром (вершины треугольника Эйлера-Фейербаха). Эти три точки являются отражениями середин сторон треугольника относительно центра окружности девяти точек.
• Таким образом, центр окружности девяти точек служит центром симметрии, переводящим серединный треугольник в треугольник Эйлера-Фейербаха (и наоборот) [3].
• Согласно теореме Лестера центр окружности девяти точек лежит на одной окружности с тремя другими точками — двумя точками Ферма и центром описанной окружности [10].

Точка Коснита, изогонально сопряженная центру окружности девяти точек

• Точка Косниты треугольника, связанная с теоремой Косниты, изогонально сопряжена центру окружности девяти точек[11]. (см. рис.)
• Прямая ${\displaystyle X(485)X(486)}$, проходящая через две точки Вектена ${\displaystyle X(485)}$ и ${\displaystyle X(486)}$, пересекает прямую Эйлера в центре девяти точек треугольника ${\displaystyle ABC}$.

Трилинейные координаты центра окружности девяти точек равны[1][2]:

${\displaystyle \cos(B-C):\cos(C-A):\cos(A-B)}$

${\displaystyle =\cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B}$

${\displaystyle =\cos A-2\sin B\sin C:\cos B-2\sin C\sin A:\cos C-2\sin A\sin B}$

${\displaystyle =bc[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}]:ca[b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}]:ab[c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}]~.}$

Барицентрические координаты центра равны[2]:

${\displaystyle a\cos(B-C):b\cos(C-A):c\cos(A-B)}$

${\displaystyle =a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}:b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}:c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}~.}$

• Kimberling. Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle // Mathematics Magazine. — 1994. — Т. 67, вып. 3. — .
• Stern. Euler’s triangle determination problem // Forum Geometricorum. — 2007. — Т. 7.
• Dekov. Nine-point center // Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry. — 2007.
• Euler. Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum (Latin) // Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. — 1767. — Т. 11.
• Andrew P. Guinand. Euler lines, tritangent centers, and their triangles // American Mathematical Monthly. — 1984. — Т. 91, вып. 5. — .
• William N. Franzsen. The distance from the incenter to the Euler line // Forum Geometricorum. — 2011. — Вып. 11.
• Paul Yiu. The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10.

• Rigby. Brief notes on some forgotten geometrical theorems // Mathematics and Informatics Quarterly. — 1997. — Vol. 7.

• Weisstein, Eric W. Nine-Point Center (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.